弾性マップ

弾性マップは、非線形次元削減のためのツールを提供する。その構造上、弾性マップは データ空間に埋め込まれた弾性ばねのシステムである。 ^{[ 1 ]}このシステムは低次元多様体を近似する。このシステムの弾性係数により、完全に非構造化されたk-means クラスタリング(弾性ゼロ) から、線形PCA 多様体に近い推定器(高曲げモジュールおよび低伸張モジュール用) への切り替えが可能になる。弾性係数のいくつかの中間値により、このシステムは非線形主多様体を効果的に近似する。このアプローチは、データ分布の「中央」を通過する主多様体と弾性膜および弾性板との間の機械的類似性に基づいている。この方法は、1996～1998 年にAN Gorban、AY Zinovyev、および AA Pitenkoによって開発された。

させて$\displaystyle {\mathcal {S}}}$有限次元ユークリッド空間内のデータセットである。弾性マップはノードの集合によって表現される。${\displaystyle {\bf {w}}_{j}}$同じ空間内。各データポイント$\displaystyle s\in \mathcal S}$ホストノード、つまり最も近いノードを持つ${\displaystyle {\bf {w}}_{j}}$（最も近いノードが複数ある場合は、番号が最小のノードを選択します。）データセット$\displaystyle {\mathcal {S}}}$クラスに分けられます${\displaystyle K_{j}=\{s\ |\ {\bf {w}}_{j}{\mbox{ は }}s のホストです\}}$。

近似エネルギーDは歪みである

${\displaystyle D={\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{k}\sum _{s\in K_{j}}\|s-{\bf {w}}_{j}\|^{2}}$、

これは、各データポイントをホストノードに接続する単位弾性を持つバネのエネルギーです。この和の各項に重み係数を適用することで、例えば、任意のデータポイントのサブセットの確率密度関数の標準偏差を反映させることができます。${\displaystyle \{s_{i}\}}$。

ノードの集合には追加の構造が定義されます。ノードのペアの中には、${\displaystyle ({\bf {w}}_{i},{\bf {w}}_{j})}$は、弾性のある縁で接続されています。このペアのセットを${\displaystyle E}$ノードのトリプレット、${\displaystyle ({\bf {w}}_{i},{\bf {w}}_{j},{\bf {w}}_{k})}$、湾曲した肋骨を形成する。この三つ組を${\displaystyle G}$。

伸縮エネルギーは$${\displaystyle U_{E}={\frac {1}{2}}\lambda \sum _{({\bf {w}}_{i},{\bf {w}}_{j})\in E}\|{\bf {w}}_{i}-{\bf {w}}_{j}\|^{2}}$$、

曲げエネルギーは${\displaystyle U_{G}={\frac {1}{2}}\mu \sum _{({\bf {w}}_{i},{\bf {w}}_{j},{\bf {w}}_{k})\in G}\|{\bf {w}}_{i}-2{\bf {w}}_{j}+{\bf {w}}_{k}\|^{2}}$、

どこ${\displaystyle \lambda }$そして${\displaystyle \mu }$はそれぞれ伸縮弾性率と曲げ弾性率です。伸縮エネルギーは膜エネルギーと呼ばれることもあり、曲げエネルギーは薄板エネルギーと呼ばれます。^{[ 5 ]}

例えば、2次元の長方形グリッドでは、弾性のあるエッジは垂直方向と水平方向のエッジ（最も近い頂点のペア）であり、曲げリブは連続する（最も近い）頂点の垂直方向または水平方向の3つ組である。

弾性マップの全エネルギーは、${\displaystyle U=D+U_{E}+U_{G}.}$

ノードの位置${\displaystyle \{{\bf {w}}_{j}\}}$弾性マップの力学的平衡によって決定され、つまりその位置は全エネルギーを最小化するように決定される。${\displaystyle U}$。

データセットの特定の分割に対して $\displaystyle {\mathcal {S}}}$授業中${\displaystyle K_{j}}$二次関数の最小化${\displaystyle U}$これは係数の疎行列を持つ線形問題です。したがって、主成分分析やk平均法と同様に、分割法が使用されます。

• 与えられた${\displaystyle \{{\bf {w}}_{j}\}}$探す${\displaystyle \{K_{j}\}}$;
• 与えられた${\displaystyle \{K_{j}\}}$最小限に抑える${\displaystyle U}$そして見つける${\displaystyle \{{\bf {w}}_{j}\}}$;
• 変更がない場合は、終了する。

この期待値最大化アルゴリズムは、局所最小値を保証します。${\displaystyle U}$近似精度を向上させるために、さまざまな追加手法が提案されている。例えば、軟化戦略が用いられる。この戦略は、剛性グリッド（長さが小さく、曲げモーメントが小さく、弾性係数が大きい）から始まる。 ${\displaystyle \lambda }$そして${\displaystyle \mu }$係数）とソフトグリッド（小）で仕上げます${\displaystyle \lambda }$そして${\displaystyle \mu }$) トレーニングは複数のエポックに分かれており、各エポックには独自のグリッド剛性があります。もう 1 つの適応戦略は、ネットワークの成長です。少数のノードから始めて、徐々に新しいノードを追加していきます。各エポックには独自のノード数があります。

この方法とフリーソフトウェア^{[ 3 ]の最も重要な応用例は、バイオインフォマティクス[ 7 ] [ 8 ]}における多次元データの探索的データ分析と可視化、経済学、社会学、政治学におけるデータ可視化^{[ 9 ]} 、地理情報システムにおけるデータマッピングの補助ツール、およびさまざまな性質のデータの可視化です。

この方法は、光顕微鏡画像のスタックから樹木の葉の曲面を再構築するために定量生物学で応用されています。^{[ 10 ]}この再構築は、トリコーム間の測地距離とそのパターンを定量化するために使用され、これは植物が病原体に抵抗する能力の指標となります。

近年、この方法は金融ポートフォリオの選択、最適化、管理の根底にある意思決定プロセスにおける支援ツールとして採用されている。^{[ 11 ]}

弾性マップ法は、パイプ内の気液二相流の流れ様式の識別という応用問題において、いくつかの機械学習法と比較され、体系的にテストされてきた。 ^{[ 12 ]}流れ様式には、単相水または空気の流れ、気泡流、気泡スラグ流、スラグ流、スラグ攪拌流、攪拌流、攪拌環状流、環状流など、さまざまなものがある。流れ様式を識別するために最も単純で一般的な方法は、目視観察である。しかし、この方法は主観的であり、比較的高い気体および液体の流量には適していない。そのため、多くの著者が機械学習法を提案している。これらの方法は、校正プロセス中に収集された差圧データに適用される。弾性マップ法は、各流れ様式の領域を表す 2D マップを提供する。さまざまなパイプ径と圧力に対する他のいくつかの機械学習法との比較を表 1 に示す。

ここで、ANNはバックプロパゲーション人工ニューラルネットワーク、SVMはサポートベクターマシン、SOMは自己組織化マップを表します。ハイブリッド技術はエンジニアリングアプリケーション向けに開発されました。^{[ 13 ]}この技術では、弾性マップが主成分分析（PCA）、独立成分分析（ICA）、バックプロパゲーションANNと組み合わせて使用​​されます。

教科書^{[ 14 ]}では、経済および金融の意思決定への応用において、弾性マップと自己組織化マップ（SOM）の体系的な比較が提供されています。