エーリングの補題

数学において、エーリングの補題（エーリングの補題、Lions ' lemma ^{）[1] は}バナッハ空間に関する結果である。関数解析において、ソボレフ空間上の特定のノルムの同値性を証明するためによく使われる。この補題はグンナー・エーリングにちなんで名付けられた。^{[2] [3] [a]}

( X , ||⋅|| _X )、( Y , ||⋅|| _Y )、( Z , ||⋅|| _Z ) を 3 つのバナッハ空間とします。次のことを仮定します。

• X はY にコンパクトに埋め込まれている。つまり、X ⊆ Y であり、X内のすべての|| ⋅  ||  X有界シーケンスに_は|| ⋅ || _Y収束する部分シーケンスが存在する。そして
• Y はZに連続的に埋め込まれます。つまり、Y  ⊆  Zであり、定数kが存在するので、すべてのy  ∈  Yに対して|| y || _Z  ≤  k || y || _{Y が}成立します。

すると、すべてのε  > 0 に対して定数C ( ε ) が存在し、すべてのx  ∈  Xに対して、

${\displaystyle \|x\|_{Y}\leq \varepsilon \|x\|_{X}+C(\varepsilon )\|x\|_{Z}}$

Ω ⊂  R ^{n を}開有界とし、k  ∈  Nとする。ソボレフ空間H ^k (Ω) がH ^{k −1} (Ω)にコンパクトに埋め込まれているとする。このとき、 H ^k (Ω)上の次の 2 つのノルムは同値である。

${\displaystyle \|\cdot \|:H^{k}(\Omega )\to \mathbf {R} :u\mapsto \|u\|:={\sqrt {\sum _{|\alpha |\ leq k}\|\mathrm {D} ^{\alpha }u\|_{L^{2}(\Omega )}^{2}}}}$

そして

${\displaystyle \|\cdot \|':H^{k}(\Omega )\to \mathbf {R} :u\mapsto \|u\|':={\sqrt {\|u\|_{L^{2}(\Omega )}^{2}+\sum _{|\alpha |=k}\|\mathrm {D} ^{\alpha }u\|_{L^{2}(\Omega )}^{2}}}.}$

ゼロトレースを持つソボレフ関数（Ω の「境界上でゼロになる」もの）で構成されるH ^k (Ω)のサブスペースでは、 uのL ²ノルムを省略して、別の同等のノルムを生成することができます。

• レナーディ、マイケル、ロジャース、ロバート C. (1992)。偏微分方程式入門。ベルリン: シュプリンガー出版社。ISBN 978-3-540-97952-4。