E関数

数学において、E 関数は係数に関する特定の算術条件を満たす冪級数の一種です。E 関数は超越数論において興味深いものであり、G 関数と密接に関連しています。

代数的数の係数を持つべき級数

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}\in {\overline {\mathbb {Q} }}[\![x]\!]}$

次の3つの条件を満たす場合、 E関数^[1]と呼ばれます。

• これは、多項式係数を持つ非ゼロの線形微分方程式の解です（これは、すべての係数c _{n が}、有理数に対して有限次数を持つ同じ代数体Kに属することを意味します）。
• 全ての、   ${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle {\overline {\left|c_{n}\right|}}=O\left(n^{n\varepsilon }\right),}$

ここで、左側はc _nのすべての代数共役の絶対値の最大値を表します。

• すべてに対して自然数の列q ₀ , q ₁ , q ₂ ,...が存在し、q _n c _kはKの代数的整数であり、k = 0, 1, 2,..., n、n = 0, 1, 2,...であり、${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle q_{n}=O\left(n^{n\varepsilon }\right).}$

2 番目の条件は、fがxの完全関数であることを意味します。

E関数は1929年にシーゲルによって初めて研究されました。 ^[2] 彼は、特定のE関数が取る値が代数的に独立であることを示す方法を発見しました。これは、単なる線形独立性ではなく、数のクラスの代数的独立性を確立する結果でした。 ^[3]それ以来、これらの関数は数論でいくらか有用であることが証明されており、特に超越証明や微分方程式に応用されています。 ^[4]

おそらく、 E関数に関連する主な結果は、カール・ルートヴィヒ・シーゲルとアンドレイ・ボリソビッチ・シドロフスキー にちなんで名付けられたシーゲル・シドロフスキー定理（シーゲルとシドロフスキーの定理としても知られる）です。

同次線形微分方程式系を満たす n個の E関数、E ₁ ( x )、...、E _n ( x )が与えられているとする。

${\displaystyle y_{i}^{\prime }=\sum _{j=1}^{n}f_{ij}(x)y_{j}\quad (1\leq i\leq n)}$

ここで、f _{ij は}xの有理関数であり、各Eとfの係数は代数体Kの要素です。この定理は、E ₁ ( x )、...、E _n ( x )がK ( x )上で代数的に独立である場合、 f _ijのいずれの極でもない任意の非ゼロ代数数αに対して、数E ₁ (α)、...、E _n (α) は代数的に独立である、ということを述べています。

1. 代数係数を持つ任意の多項式は、 E関数の簡単な例です。
2. 指数関数はE関数であり、その場合、すべてのnに対してc _n  = 1 となります。
3. λ が代数的数である場合、ベッセル関数 J _λはE関数です。
4. 2 つのE関数の和または積はE関数です。特に、E関数は環を形成します。
5. a が代数的数であり、f ( x ) がE関数である場合、f ( ax ) はE関数になります。
6. f ( x )がE関数である場合、 fの微分と積分もE関数になります。

• Weisstein、Eric W.「E-関数」。MathWorld。