物理シミュレーション

計算物理学における動的シミュレーションとは、ニュートンの力学法則またはその近似値に従って、通常は 3 次元で自由に動く物体のシステムのシミュレーションです。動的シミュレーションは、コンピュータ アニメーションでアニメーターがリアルな動きを生み出すのを支援するために、工業デザイン(たとえば、衝突試験の初期段階で衝突をシミュレートするため) やビデオ ゲームで使用されます。物体の動きは、時間積分法を使用して計算されます。

コンピュータサイエンスでは、物理エンジンと呼ばれるプログラムを使用して、空間内の物体の挙動をモデル化します。これらのエンジンを使用すると、さまざまな種類の物体がさまざまな物理的刺激によってどのように影響を受けるかをシミュレートできます。また、物理学について何も知らなくても、動的シミュレーションを作成するために使用できます。物理エンジンはビデオゲームや映画業界全体で使用されていますが、すべての物理エンジンが同じというわけではありません。物理エンジンは一般にリアルタイムと高精度に分けられますが、これらが唯一の選択肢ではありません。ほとんどのリアルタイム物理エンジンは不正確で、現実世界のごくわずかな近似値しか生成しません。一方、ほとんどの高精度エンジンは、日常的なアプリケーションで使用するには遅すぎます。

これらの物理エンジンがどのように構築されているかを理解するには、物理​​学の基礎知識が必要です。物理エンジンは、古典力学で説明される世界の実際の動作に基づいています。エンジンは通常、現代力学を考慮していません (相対性理論と量子力学を参照)。これは、ほとんどの視覚化が比較的ゆっくりと移動する大きな物体を扱っているためですが、最も複雑なエンジンは古典力学だけでなく現代力学の計算も実行します。動的シミュレーションで使用されるモデルによって、これらのシミュレーションの精度が決まります。

物理エンジンで使用できる最初のモデルは、「粒子」と呼ばれる有限の質量を持つ微小物体の運動を規定します。ニュートンの第 2 法則 (ニュートンの法則を参照) または力の定義と呼ばれるこの方程式は、すべての運動を規定する基本的な動作です。

${\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}}$^[1]

この方程式は粒子の挙動を完全にモデル化することを可能にしますが、剛体の回転運動を考慮していないため、ほとんどのシミュレーションには不十分です。これは物理エンジンで使用できる最も単純なモデルであり、初期のビデオゲームで広く使用されていました。

現実世界の物体は力が加わると変形するため、「柔らかい」物体と呼ばれますが、変形は動きに比べて無視できるほど小さいことが多く、モデル化が非常に複雑なため、ほとんどの物理エンジンでは変形は無視されます。変形できないと想定される物体は、剛体と呼ばれます。剛体 ダイナミクスは、形状、サイズ、質量は変更できないが、方向と位置は変更できる物体の動きを扱います。

回転エネルギーと運動量を説明するには、モーメントを使用して物体に力がどのように適用されるかを記述し、慣性テンソルを使用して物体の質量分布を説明する必要があります。これらの複雑な相互作用は、上記の力の定義に似た方程式で記述されます。

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} (\mathbf {I} {\boldsymbol {\omega }})}{\mathrm {d} t}}=\sum _{j=1}^{N} \タウ_{j}}$

ここで、は中心慣性テンソル、は角速度ベクトル、 は質量中心の周りのj番目の外力のモーメントです。 ${\displaystyle \mathbf {I} }$${\displaystyle {\vec {\omega }}}$${\displaystyle \tau_{j}}$

慣性テンソルは、特定の物体の各質量粒子の位置を、その物体の質量の中心との関係で表します。これにより、物体に作用する力に応じて物体がどのように回転するかを判断できます。この角運動は、角速度ベクトルによって定量化されます。

相対速度を下回っている限り (相対論的ダイナミクスを参照)、このモデルは関連するすべての動作を正確にシミュレートします。この方法では、レンダリングする瞬間ごとに物理エンジンが6 つの常微分方程式を解く必要がありますが、これは最新のコンピューターにとっては簡単な作業です。

慣性モデルは、通常必要なものよりはるかに複雑ですが、最も簡単に使用できます。このモデルでは、力を変更したり、システムを制約したりする必要はありません。ただし、システムにいくつかの賢明な変更を加えると、シミュレーションがはるかに簡単になり、計算時間が短縮されます。最初の制約は、各トルクを主軸に関して置くことです。これにより、各トルクのプログラミングがはるかに難しくなりますが、方程式が大幅に簡素化されます。この制約を適用すると、慣性モーメントテンソルが対角化され、3 つの方程式がオイラー方程式と呼ばれる特別な方程式のセットに簡素化されます。これらの方程式は、すべての回転運動量を主軸に関して記述します。

${\displaystyle {\begin{matrix}I_{1}{\dot {\omega }}_{1}+(I_{3}-I_{2})\omega _{2}\omega _{3}&=&N_{1}\\I_{2}{\dot {\omega }}_{2}+(I_{1}-I_{3})\omega _{3}\omega _{1}&=&N_{2}\\I_{3}{\dot {\omega }}_{3}+(I_{2}-I_{1})\omega _{1}\omega _{2}&=&N_{3}\end{matrix}}}$

• N項は主軸周りのトルクである
• I項は慣性モーメントの主項である。
• 項は主軸周りの角速度である${\displaystyle {\omega}}$

このモデルの欠点は、すべての計算がフロントエンドで行われるため、期待するよりも遅いことです。このモデルは依然として非線形微分方程式のシステムに依存しているため、実際の有用性は明らかではありません。この問題を軽減するには、方程式から 2 番目の項を削除できる方法を見つける必要があります。これにより、はるかに簡単に積分できるようになります。これを行う最も簡単な方法は、ある程度の対称性を想定することです。

オイラー方程式を単純化する対称物体の 2 つのタイプは、「対称コマ」と「対称球」です。前者は対称度が 1 であると想定し、これにより I 項の 2 つが等しくなります。円筒やコマなどのこれらの物体は、非常に単純な方程式 1 つと、それよりわずかに単純な方程式 2 つで表すことができます。これはあまり役に立ちません。もう 1 つ対称性があると、外観はほとんど変化せずに速度が大幅に向上する可能性があるからです。対称球はI項をすべて等しくし (慣性モーメントスカラー)、これらの方程式をすべて単純化します。

${\displaystyle {\begin{matrix}I{\dot {\omega }}_{1}&=&N_{1}\\I{\dot {\omega }}_{2}&=&N_{2}\\I{\dot {\omega }}_{3}&=&N_{3}\end{matrix}}}$

• N項は主軸周りのトルクである
• 項は主軸周りの角速度である${\displaystyle {\omega}}$
• I項はスカラー慣性モーメントです。

${\displaystyle I\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{V}l^{2}(m)\,dm=\iiint _{V}l^{2}( v)\,\rho (v)\,dv=\iiint _{V}l^{2}(x,y,z)\,\rho (x,y,z)\,dx\,dy\,dz\!}$

どこ

• • Vは物体の体積領域であり、
  • rは回転軸からの距離であり、
  • mは質量、
  • vは体積、
  • ρは物体の点密度関数であり、
  • x、y、zは直交座標です。

これらの方程式により、回転のない動きをシミュレートする方法に非常に近い方法で回転できる物体の動作をシミュレートできます。これは単純なモデルですが、リアルタイムの動的シミュレーションでリアルな出力を生成するのに十分な精度があります。また、物理エンジンが慣性の変化ではなく、変化する力とトルクに焦点を当てる こともできます。

• 境界ボリューム
• 衝突検出
• オイラー方程式（剛体力学）
• 慣性モーメント
• 物理抽象化レイヤー
• 物理エンジン
• 剛体力学