ダックワース・ルイス・スターン法

ダックワース・ルイス・スターン法（DLS ）は、天候やその他の状況で中断された制限オーバーのクリケット試合で、2番目に打つチームの目標スコア（勝つために必要なラン数）を計算するために設計された数学的定式化です。この方法は、フランク・ダックワースとトニー・ルイスという2人のイギリスの統計学者によって考案され、以前はダックワース・ルイス法（D/L）として知られていました。^[1]この方法は1997年に発表され、 1999年に国際クリケット評議会（ICC）によって正式に採用されました。ダックワースとルイスの両名が引退した後、オーストラリアの統計学者スティーブン・スターンがこの方法の管理者となり、2014年11月に現在の名称に改名されました。 ^{[2] [3]} 2014年に、彼はモデルを改良^[4]この洗練された方法は、今日でも国際クリケットの雨天試合の対応の標準となっています。

中断のないクリケットの試合での目標スコアは、最初にバッティングしたチームが獲得したラン数より 1 つ多い値です。オーバーを失った場合、2 番目にバッティングするチームの調整された目標を設定することは、オーバーの損失に比例してラン目標を減らすほど単純ではありません。これは、10 ウィケットを保持していて 25 オーバーのバッティングがあるチームは、たとえば 10 ウィケットと 50 オーバーのフルバッティングがある場合よりも積極的にプレーでき、結果としてより高いラン率を達成できるためです。DLS 方式は、2 番目のチームのイニングに統計的に公平な目標を設定する試みであり、元の目標と同じ難しさです。基本原則は、制限オーバーの試合の各チームには、ランを獲得するために利用できる 2 つのリソース (プレーするオーバーと残りのウィケット) があり、目標はこれら 2 つのリソースの組み合わせの変化に比例して調整されるというものです。

雨の影響を受けたクリケットの試合を解決するために、これまでさまざまな方法が使用されていましたが、最も一般的なのは平均ランレート法であり、後に最も生産性の高いオーバー法になりました。

これらの方法は本質的には単純ですが、本質的な欠陥があり、簡単に悪用される可能性があります。

• 平均ラン レート法では、2 番目にバッティングしたチームが失ったウィケットは考慮されず、試合が中断されたときの得点率のみが反映されます。チームが雨天中止の可能性が高いと感じた場合、対応するウィケットの喪失の可能性を考慮せずに得点率を強制しようとする可能性があります。つまり、最初にバッティングしたチームとの比較は不正確になります。
• 最も生産性の高いオーバー方式では、2 番目にバッティングしたチームが失ったウィケットが考慮されなかっただけでなく、修正目標を設定する際にベストオーバーを無視することで、2 番目にバッティングしたチームの優れたボウリングに対して実質的にペナルティが課せられました。
• これらの方法は両方とも、試合のバランスを頻繁に変える修正目標を生成し、中断時の試合状況を考慮していませんでした。

D/L法は、1992年ワールドカップの準決勝でイングランドと南アフリカが対戦した結果、最も生産性の高いオーバー法が使用されたことから、フランク・ダックワースとトニー・ルイスという2人のイギリス人統計学者によって考案された。雨で12分間試合が中断されたとき、南アフリカは13球で22得点を必要としていたが、試合が再開されたとき、修正された目標では南アフリカは1球で21得点を必要としていた。これは2オーバーの短縮に比べてわずか1得点の減少であり、1球での最大得点が通常6得点であることを考えると、事実上不可能な目標であった。^{[5]ダックワースは、「ラジオで}クリストファー・マーティン＝ジェンキンスが『きっと誰かがどこかでもっと良い方法を思いつくはずだ』と言っているのを聞いたのを覚えています。そしてすぐに、これは数学的な問題であり、数学的な解決が必要であることに気付きました」と述べている。^{[6] [7]} D/L方式はこの欠陥を回避します。この試合では、修正されたD/L目標が236だったため、南アフリカは最終ボールから同点にするには4点、勝つには5点が必要でした。^{[8] [注1]}

D/L方式が国際クリケットで初めて使用されたのは、1997年1月1日、ジンバブエ対イングランドのODIシリーズの第2戦で、ジンバブエが7点差で勝利しました。^[11] D/L方式は、雨天で短縮されたワンデイマッチの目標スコアを計算するための標準的な方法として、1999年にICCによって正式に採用されました。

D/L 方式の本質は「リソース」です。各チームには、できるだけ多くの得点を獲得するために使用する 2 つの「リソース」があります。それは、受け取るオーバー数と、手元にあるウィケットの数です。どのイニングのどの時点でも、チームがより多くの得点を獲得できるかどうかは、残っているこれら 2 つのリソースの組み合わせによって決まります。過去のスコアを見ると、これらのリソースの可用性とチームの最終スコアの間には非常に密接な相関関係があり、D/L はこの相関関係を活用します。^[12]

D/L 方式では、オーバー (正確にはボール) と残りのウィケットの可能なすべての組み合わせを、合計リソース残存率 (50 オーバーと 10 ウィケット = 100%) に変換し、これらをすべて公開された表またはコンピュータに保存します。2 番目にバッティングするチーム (「チーム 2」) の目標スコアは、これらのリソース率を使用して最初にバッティングするチーム (「チーム 1」) が達成した合計スコアから上下に調整でき、試合が 1 回以上短縮された場合に 1 チームまたは両方のチームが失ったリソースを反映できます。

国際試合やファーストクラスの試合で最も一般的に使用されているD/Lのバージョン（「プロフェッショナルエディション」）では、チーム2の目標は2チームのリソースに 比例して調整されます。

${\displaystyle {\text{チーム 2 のパースコア}}={\text{チーム 1 のスコア}}\times {\frac {\text{チーム 2 のリソース}}{\text{チーム 1 のリソース}}}.}$

通常の場合のように、この「パー スコア」が整数でないラン数である場合、チーム 2 の勝利目標はこの数値を次の整数に切り上げた値となり、引き分けスコア(パー スコアとも呼ばれる) はこの数値を前の整数に切り下げた値となります。チーム 2 が目標スコアに達するか、それを上回った場合、そのチームが試合に勝利します。チーム 2 がパー スコアにちょうど達した (ただし上回っていない) 時点で試合が終了した場合、その試合は引き分けとなります。チーム 2 がパー スコアに到達できなかった場合、負けとなります。

例えば、雨天による遅延でチーム2のリソースが90%しか利用できず、チーム1がリソースを100%利用して254点を獲得した場合、254 × 90% / 100% = 228.6となり、チーム2の目標は229、同点スコアは228となります。プロフェッショナル版で使用される実際のリソース値は公開されていないため^[13] 、このソフトウェアがロードされたコンピュータを使用する必要があります。

50 オーバーの試合で、チーム 1 が中断されることなくイニングを完了した場合、利用可能なリソースは 100% であるため、式は次のように簡略化されます。

${\displaystyle {\text{チーム2の標準スコア}}={\text{チーム1のスコア}}\times {\text{チーム2のリソース}}.}$

• 最初のイニングが始まる前に遅延があり、2 つのイニングのオーバー数が減っても、互いに同じである場合、D/L は目標スコアを変更しません。これは、両チームがイニング全体のオーバー数とウィケット数を把握しており、利用できるリソースが同じであるためです。
• チーム 1 のイニングが終了すると、まずチーム 2 の目標スコアが計算されます。
• チーム 1 のイニング中に中断があった場合、またはチーム 1 のイニングが短縮されたために、2 つのイニングのオーバー数が減った場合 (ただし、互いに同じ数のまま)、D/L は上記のようにチーム 2 の目標スコアを調整します。チーム 1 のイニングが中断された後のチーム 2 の目標の調整は増加になることが多く、これはチーム 2 がチーム 1 よりも多くのリソースを利用できることを意味します。両チームとも 10 ウィケットで、利用できるオーバー数は同じ (減った) ですが、一部のイニングではチーム 1 が実際に利用できるオーバー数よりも多くのオーバーを利用できると予想していたため、増加は妥当です。チーム 1 がイニングが短くなることを知っていれば、それほど保守的ではなく、より多くのランを獲得していたでしょう (ウィケットを犠牲にして)。結局キャンセルされたオーバーで使用するためにウィケット リソースをいくらか節約しましたが、チーム 2 はそうする必要がなかったため、同じオーバー数で使用できるリソースが増えました。したがって、チーム 2 の目標スコアを増やすことで、チーム 1 は打席に立つと思っていたオーバーの一部が拒否されたことを補うことができます。増加した目標は、イニングの長さが当初からこれだけの長さだとわかっていた場合に、最終的にチーム 1 が獲得したオーバーで D/L が考えるスコアです。

たとえば、チーム 1 が雨が降る前に合計 50 オーバーあると思って 20 オーバー打ったが、再開時にチーム 2 が打つ時間が 20 オーバーしかなかった場合、チーム 1 が達成した目標をチーム 2 に与えるのは明らかに不公平です。なぜなら、チーム 1 は 20 オーバーしかないと知っていれば、より控えめに打ってより多くの得点を獲得していたはずだからです。

• チーム 2 のイニングが開始前、開始中、または途中で中断された場合、D/L はチーム 2 のリソースの減少に比例して、チーム 1 のイニング終了時に設定された初期目標からチーム 2 の目標スコアを減らします。2 回目のイニングで複数の中断があった場合、目標はそのたびに下方調整されます。
• ターゲット スコアを増加および減少させる中断がある場合、どの中断があったかに応じて、ターゲットに対する純粋な影響は増加または減少のいずれかになります。

オリジナルのD/Lモデルは、与えられたオーバー数（ ）とウィケット損失数（ ）に対して、まだ獲得できるラン数（ ）が次の指数関数的減少関係をとると仮定することから始まりました。^[14]${\displaystyle Z}$${\displaystyle u}$${\displaystyle w}$

${\displaystyle Z(u,w)=Z_{0}(w)\left({1-e^{-b(w)u}}\right),}$

ここで、定数は無制限オーバー（ワンデイルール）での漸近平均合計スコアであり、は指数関数的減少定数です。どちらも（のみ）とともに変化します。これら2つのパラメータの値はそれぞれ0から9までで、「何百ものワンデイインターナショナル」のスコアと「広範な研究と実験」から推定されましたが、「商業上の機密」のため公開されていませんでした。^[14]${\displaystyle Z_{0}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle w}$${\displaystyle w}$

との特定の組み合わせに対するの値を求め（と にこれらの定数の特定の値を入れて）、これをイニング開始時に達成可能なスコアで割ります。つまり、 ${\displaystyle Z}$${\displaystyle u}$${\displaystyle w}$${\displaystyle u}$${\displaystyle w}$

${\displaystyle P(u,w)={\frac {Z(u,w)}{Z(u=50,w=0)}},\,}$

オーバーが残っていてウィケットがダウンしている場合、残りのイニングの合計得点リソースの割合を示します。 ^[14]これらの割合は、右に示すようにグラフにプロットすることも、以下に示すように単一の表に表示することもできます。 ${\displaystyle u}$${\displaystyle w}$

これがスタンダードエディションになりました。導入されたとき、コンピュータが存在することが保証されていなかったため、D/L を単一のリソースパーセンテージテーブルで実装できる必要がありました。したがって、平均リソースを与えるこの単一の式が使用されました。この方法は、実際のスコアに関係なく、平均パフォーマンスは平均に比例するという仮定に依存しています。これは 95 パーセントの試合では十分でしたが、非常に高いスコアの 5 パーセントの試合では、単純なアプローチが機能しなくなりました。 ^[15]この問題を克服するために、値がチーム 1 のイニングに依存する追加のパラメータを含む、アップグレードされた式が提案されました。^[16]これがプロフェッショナルエディションになりました。

2008年シリーズの第4回インド対イングランドODIでは、第1イニングが2度雨で中断され、試合はそれぞれ22オーバーに短縮された。インド（先攻）は166/4を獲得した。D/L方式により、イングランドの目標は22オーバーで198に増加した。イングランドは22オーバーしかないことを知っていたので、インドが（中断した）イニングで獲得したランよりも多くのランをそのオーバーで獲得できると予想された。イングランドは22オーバーで178/8を獲得したため、試合は「インドが19ランで勝利（D/L方式）」と記載された。^[17]

2011年1月に行われたインドと南アフリカの第5回ODIでは、最初のイニングで2度雨のため試合が中断された。試合はそれぞれ46オーバーに短縮された。南アフリカは250/9を獲得した。D/L方式により、インドの目標は268に増加した。南アフリカのイニング中にオーバー数が削減されたため、この方式では、南アフリカがイニングを通して46オーバーしかかからないことを知っていた場合に南アフリカが獲得していたと思われる得点を考慮に入れている。この試合は「南アフリカが33ランで勝利（D/L方式）」と記載された。^[18]

2014年12月3日、スリランカはイングランドと対戦し、先攻となったが、スリランカが2オーバーで6/1を獲得した時点でプレーが中断された。再開時に、両方のイニングは35オーバーに短縮され、スリランカは242/8で終了した。D/Lにより、イングランドの目標は35オーバーで236に削減された。^[19]スリランカは中断後に残っていたリソースがイングランドの全イニングで使用できるリソースよりも少なかった（約7％少ない）が、中断前にリソースの8％（2オーバーと1ウィケット）を使用していたため、スリランカが使用した合計リソースはイングランドが使用できるリソースよりもわずかに多く、イングランドの目標がわずかに減少した。

D/L方式が適用された簡単な例は、2006年のODIシリーズにおけるインドとパキスタン間の第1回ODIである。^[20]インドが先にバッティングし、328でオールアウトとなった。2番目にバッティングしたパキスタンは、47オーバー後に悪天候でプレーが中断された時点で311/7であった。試合が続行されていた場合のパキスタンの目標は、3ウィケットを残して18ボールで18ランだった。試合全体の得点率を考慮すると、これはほとんどのチームが達成しやすい目標である。そして実際、D/L方式を適用した結果、47オーバー終了時の遡及目標スコアは305（またはパースコア304）となり、その結果は公式に「パキスタンが7ランで勝利（D/L方式）」となった。

D/L方式は、2010年のT20ワールドカップのグループステージのスリランカ対ジンバブエ戦で使用された。スリランカは先攻で20オーバーで173/7を獲得し、それに対してジンバブエは1オーバーで4/0だったが、雨で試合が中断された。再開時にジンバブエの目標は12オーバーで108に減らされたが、5オーバーで29/1を獲得したところで雨で試合が中止となった。5オーバーからの遡及的なD/L目標はさらに44、つまりパースコアの43に減らされ、スリランカが14ラン差で試合に勝利した。^{[21] [22]}

DLS方式は 、 2023年インディアンプレミアリーグ決勝戦の雨による中断後にも使用されました。このとき、チェンナイ・スーパーキングスは4/0（0.3オーバー）を獲得し、グジャラート・タイタンズは214/4（20オーバー）を獲得しました。チェンナイ・スーパーキングスの目標は、20オーバーで215ランという以前の目標から、15オーバーで171ランに引き下げられました。チェンナイ・スーパーキングスは、DLS方式で5ウィケットの勝利を収めました。これは、15オーバーで171/5に到達することで達成されました。

D/L で引き分けとなった試合の例として、2011 年 9 月 11 日のイングランドとインドの ODI が挙げられます。この試合は最終オーバーで雨により頻繁に中断され、ダックワース ルイスの「パー」スコアをボールごとに計算することが、それらのオーバー中の戦術的決定において重要な役割を果たしました。ある時点では、インドは 1 回の雨による中断中に D/L でリードしており、プレーが再開されていなければ勝っていたでしょう。2 回目の雨のインターバルでは、D/L でリードする必要があると認識していたイングランドが、素早く得点を挙げ、プレーが再開されていなければ同様に勝っていたでしょう。試合は最終的に残り 7 球で中止され、イングランドのスコアがダックワース ルイスの「パー」スコアと等しくなったため、引き分けとなりました。

この例は、雨が試合を中止するほど激しいかどうかを判断する審判の判断がいかに重要 (かつ難しい) かを示しています。この試合の審判が 1 球早く試合を中止していれば、イングランドは D/L でリードしていたため、試合に勝っていたでしょう。同様に、1 球遅く試合を中止していれば、インドはドット ボールで試合に勝っていたかもしれません。これは、このような状況では D/L の計算がいかに細かく調整できるかを示しています。

2012/13 KFCビッグバッシュリーグでは、メルボルンスターズとパーススコッチャーズの間で行われた第2準決勝でD/Lが使用された。雨のため試合開始が遅れ、メルボルンは15.2オーバーで159/1を獲得した時点でイニングが中断され、両イニングとも2オーバー減って18となり、メルボルンは183/2で終了した。さらに雨による遅延でパースのイニングが17オーバーに減った後、パースはフィールドに戻って13オーバーに臨み、目標を139に修正した。パースは最後のボールでバウンダリーを獲得し、8ウィケットで試合に勝利した。^{[23] [24]}

D/L方式の基礎となる公開表は、より最近の試合のソースデータを使用して定期的に更新されており、これは毎年7月1日に行われます。^[25]

D/L によって決定される 50 オーバーの試合の場合、結果が有効となるには各チームが少なくとも 20 オーバーに臨まなければなりません。また、 D/L によって決定されるTwenty20ゲームの場合、片方または両方のチームがボウルアウトされない限り、および/または 2 番目のチームがより少ないオーバーで目標を達成しない限り、各チームが少なくとも 5 オーバーに臨まなければなりません。

条件により一致がこの最小長に到達できない場合は、結果なしと宣言されます。

2003年までは、D/Lの単一バージョンが使用されていました。これは、オーバーとウィケットのあらゆる組み合わせに対する残りの総リソース率の単一の公開参照表と^[26]およびいくつかの簡単な数学的計算を使用しており、比較的透明性が高く、実装が簡単でした。

しかし、1999年にブリストルで行われたインドとケニアのクリケットワールドカップの試合で、非常に高い第1イニングスコア（350以上）の処理方法に欠陥があることが明らかになりました。トニー・ルイスは、350を超える合計を狙う側に顕著なアドバンテージを与えるという、式に固有の弱点があることに気付きました。修正が式とソフトウェアに組み込まれましたが、2004年まで完全には採用されませんでした。ワンデイマッチは過去数十年よりも大幅に高いスコアを達成しており、リソースとランの歴史的関係に影響を与えていました。2番目のバージョンでは、より洗練された統計モデルを使用していますが、リソースの割合の単一のテーブルは使用していません。代わりに、割合もスコアによって変化するため、コンピューターが必要です。^[13]したがって、以前の透明性とシンプルさの利点の一部は失われています。

2002年、制限オーバーの試合の徹底的な分析の結果、リソースパーセンテージが改訂され、 ODIのG50が変更されました。（G50は、1イニングあたり50オーバーの中断のない試合で最初に打つチームに期待される平均スコアです。）ODIのG50は235に変更されました。これらの変更は2002年9月1日に発効しました。^[27] 2014年現在、これらのリソースパーセンテージはスタンダードエディションでまだ使用されていますが、G50はその後変更されました。

表には、1999 年と 2001 年の割合と、2002 年にそれがどのように変化したかが示されています。大部分は減少しました。

オリジナル版はスタンダード版と名付けられ、新版はプロフェッショナル版と名付けられた。トニー・ルイスは「当時（2003年ワールドカップ決勝の時）は、現在スタンダード版として知られているものを使用していました。オーストラリアは359点を獲得し、欠陥が明らかになったため、すぐに次の版が導入され、高得点の処理がはるかに改善されました。インドのパースコアは今やはるかに高いものになっていると思われます。」と語った。^[30]

ダックワースとルイスは、「最初に打つ側の得点がトップレベルのクリケットの平均以下である場合、プロフェッショナル版を適用した結果は、一般的にスタンダード版の結果と似ています。得点が高い試合では、結果は異なり始め、第 1 イニングの合計得点が高くなるほど差が大きくなります。実質的に、チーム 1 イニングの合計得点ごとに異なるリソース パーセンテージ テーブルが存在することになります。」と書いています。[ ^13]プロフェッショナル版は、2004 年初頭からすべての国際ワンデイ クリケット マッチで使用されています。この版では、第 1 イニングの中断に対処する際に G50 定数の使用も削除されました。^[13]

どのエディションを使用するかの決定は、特定の大会を運営するクリケット協会が行います。^[13] ICCプレイングハンドブックでは、国際大会ではプロフェッショナルエディションの使用が義務付けられています。^{[31] [32]}これは、ほとんどの国の国内大会にも適用されます。^[13]コンピュータの使用が常に保証されないゲームの低レベルでは、スタンダードエディションが使用されます。^[13]

2009年6月、D/L方式がTwenty20形式において最も速いバージョンでその妥当性が疑問視されたため、同方式が見直されることが報じられた。ルイスは「確かに、我々の計算式における数字がTwenty20ゲームに本当に適切であるかどうかを非常に注意深く調べる必要があると指摘されている」と認めたと伝えられている。^[33]

2015年のワールドカップでは、ICCはダックワース・ルイス・スターン式を導入したが、これにはクイーンズランド工科大学統計学部のスティーブン・スターン教授による新しい手法の管理者の研究も含まれていた。これらの変更は、チームがウィケットを保持するよりも高い目標を追いかけるときには、より高い得点率でスタートする必要があることを認識したものだった。^[34]

ICCプレイングハンドブック^[32]の表記法を用いると、最初に打つチームはチーム1と呼ばれ、最終スコアはSと呼ばれ、チーム1がそのイニングで利用できるリソースの合計はR1と呼ばれ、2番目に打つチームはチーム2と呼ばれ、チーム2がそのイニングで利用できるリソースの合計はR2と呼ばれます。

各オーバー数の削減後、オーバー数とウィケット数の組み合わせに応じて残っているバッティングリソースの合計値を使用して、2 つのチームが利用できる新しい合計バッティングリソースが求められます。これらの残りリソースの数値を合計利用可能リソースの数値に変換するプロセスは 2 つのエディションで同じですが、残りリソースの数値は参照テーブルで公開されているため、スタンダード エディションでは手動で行うことができます。^[26]ただし、プロフェッショナル エディションで使用される残りリソースの数値は公開されていないため、^[13]ソフトウェアがロードされたコンピューターを使用する必要があります。

• チームがイニングの開始時にリソースを失った場合(下の左側の画像)、これは簡単です。たとえば、イニングの最初の 20 オーバーを失った場合、30 オーバーと 10 ウィケットが残ります。これは、スタンダード エディションでは 75.1% であるため、これが利用可能なリソースです。
• チームがイニングの終了時にリソースを失った場合(下の中央の画像)、そのチームが利用できたリソースは、開始時に持っていたリソースから、イニングが終了した時点で残っていたリソースを差し引くことで求められます。たとえば、チームが 50 オーバーと 10 ウィケット (リソースの 100%) で開始し、イニングが 20 オーバーと 8 ウィケット (リソースの 52.4%) で終了した場合、実際に使用されたリソースは 100% − 52.4% = 47.6% になります。
• チームがイニングの途中でリソースを失った場合(下の右側の図)、そのチームが使用できたリソースは、開始時に持っていたリソースから、イニングが中断された時点で残っていたリソース (イニングの最初の期間に使用されたリソース) を差し引いて、再開時に残っていたリソースを加算することで求められます。たとえば、チームが 50 オーバー、10 ウィケット (リソースの 100%) で開始し、40 オーバー、8 ウィケット (リソースの 77.8%) が残っているときに中断され、20 オーバー、8 ウィケット (リソースの 52.4%) が残っているときに再開した場合、実際に使用されたリソースは 100% − 77.8% + 52.4% = 74.6% になります。これを別の方法で見ると、40 オーバーと 8 ウィケット (77.8%) と 20 オーバーと 8 ウィケット (52.4%) の間で利用可能なリソースが失われた、つまり 77.8% − 52.4% = 25.4% となり、利用可能なリソースの合計は 100% − 25.4% = 74.6% になります。

これらは、1回の中断のさまざまな方法にすぎません。複数の中断が発生する可能性があるため、合計リソースの割合を見つけるには、シナリオごとに異なる計算が必要になるように見えるかもしれません。ただし、実際には計算式は毎回同じです。つまり、中断と再起動の回数が多いか少ないかによって、同じ計算式を多かれ少なかれ使用する必要があるだけです。チームが利用できる合計リソースは、次の式で与えられます。^[26]

これは次のように書くこともできます:

中断または中断後の再開が発生するたびに、その時点のリソース残量パーセンテージ (スタンダード版の場合は参照テーブルから、プロフェッショナル版の場合はコンピュータから取得) を数式に入力し、残りは空白のままにすることができます。イニング開始時の遅延は 1 回目の中断としてカウントされることに注意してください。

スタンダードエディション

• R2 < R1 の場合、チーム 2 の目標スコアを総リソースの削減に比例して減らします (つまり、S × R2/R1)。
• R2 = R1 の場合、チーム 2 の目標スコアの調整は必要ありません。
• R2 > R1の場合、チーム2の目標スコアを、追加の総リソースで平均して得点されると予想される追加ラン、つまりS + G50 × (R2 – R1)/100 だけ増加させます。ここで、G50は平均50オーバー合計です。チーム2の目標スコアは、総リソースの増加、つまりS × R2/R1に比例して単純に増加されるわけではありません。これは、「チーム1が[パワープレイオーバーで]早い段階で高い得点率を達成し、雨のために試合のオーバーが大幅に減少した場合、非現実的なほど高い目標につながる可能性がある」ためです。^[13]代わりに、D/Lスタンダードエディションでは、チーム2の追加リソースがチーム1を上回ることを要求します。

G50

G50は、1イニングあたり50オーバーの中断のない試合で最初に打つチームから期待される平均スコアです。これは、競技レベルや時間の経過とともに変化します。毎年発行されるICCプレイングハンドブック^[32]には、D/L標準版が適用される場合に毎年使用されるG50の値が記載されています。

ダックワースとルイスは次のように書いている。

G50 の値は、おそらく国ごとに、あるいは競技場ごとに異なるべきであり、クリケット協会が最も適切と考える値を選択しない理由はない、と我々は認める。実際、両チームのキャプテンが、関連するすべての要素を考慮した上で、各試合の開始前に G50 の値に合意することは可能だろう。しかし、雨で試合が中断した場合にのみ適用されるものが、このようにすべての試合に適用されるべきだとは我々は思わない。いずれにせよ、G50 の値が修正目標に及ぼす影響は通常ほとんどないことを認識すべきである。たとえば、235 の代わりに 250 が使用された場合、目標が 2 ランか 3 ラン以上異なる可能性は低い。^[13]

プロフェッショナルエディション

• R2 < R1 の場合、チーム 2 の目標スコアを総リソースの削減に比例して減らします (つまり、S × R2/R1)。
• R2 = R1 の場合、チーム 2 の目標スコアの調整は必要ありません。
• R2 > R1の場合、チーム2の目標スコアを総リソースの増加に比例して増加させます。つまり、S × R2/R1です。序盤の高得点率が異常に高い目標を生み出す可能性があるという問題は、プロフェッショナルエディションで克服されています。プロフェッショナルエディションは、基本的に「チーム1のイニングの合計スコアごとに異なるリソースパーセンテージテーブル」です。^{[13]したがって、R2 > R1の場合、 [13]} G50がない場合は、チーム2の目標スコアは総リソースの増加に比例して単純に増加させることができます。

Professional Edition で使用されるリソースの割合は公開されていないため、Professional Edition の D/L 計算の例を示すことは困難です。そのため、Standard Edition が広く使用されていた 2004 年初頭までの例を示します。

2003年5月18日、ランカシャーは2003 ECBナショナルリーグでハンプシャーと対戦した。^{[37] [38] [39]}試合前の降雨により、試合はそれぞれ30オーバーに短縮された。ランカシャーが先攻し、30オーバーで231対4を獲得した。ハンプシャーがイニングを開始する前に、さらに28オーバーに短縮された。

したがって、ハンプシャーの目標は、勝つには 221 点 (28 オーバー)、引き分けには 220 点でした。彼らは全員 150 点でアウトとなり、ランカシャーが 220 − 150 = 70 点差で勝利しました。

ハンプシャーの目標が平均ラン レート方式(オーバー数の減少に比例するだけ)で設定されていた場合、パー スコアは 231 x 28/30 = 215.6 となり、勝利の場合は 216、引き分けの場合は 215 となります。これにより、必要なラン レートはランカシャーが達成したのと同じ (オーバーあたり 7.7 ラン) になりますが、ラン レートを達成して維持する方が短期間で済むため、ハンプシャーに不公平なアドバンテージが与えられます。ハンプシャーの目標を 216 から増やすことによって、この欠点を克服できます。

ランカシャーのイニングは一度中断され（開始前）、その後再開されたため、そのリソースは上記の一般的な式から次のように求められます（ハンプシャーも同様です）。合計リソース = 100% − 最初の中断時に残っているリソース + 最初の再開時に残っているリソース = 100% − 100% + 75.1% = 75.1%。

2003年3月3日、スリランカはワールドカッププールBで南アフリカと対戦した。^{[40] [41]}スリランカが先攻となり、50オーバーで268対9のスコアを獲得した。269の目標を追いかける南アフリカは、試合が中止されるまでに45オーバーで229対6のスコアに達していた。

したがって、南アフリカの 45 オーバーの目標は、勝利するには 230 ラン、引き分けには 229 ランでした。実際には、南アフリカがちょうど 229 ランを獲得したため、試合は引き分けと宣言されました。

南アフリカは最後のボールで得点をあげることができなかった。もしそのボールが投げられずにプレイが中止されていたら、中止時に南アフリカが利用できるリソースは 14.7% となり、パースコアは 228.6 となり、勝利していただろう。

南アフリカのイニングは 1 回中断され (再開されなかった)、リソースは上記の一般的な式で次のように表されます: 利用可能なリソースの合計 = 100% - 最初の中断時に残っているリソース = 100% - 14.3% = 85.7%。

2003年2月16日、ニューサウスウェールズ州はINGカップで南オーストラリア州と対戦した。^{[42] [43]}ニューサウスウェールズ州が先攻となり、49.4オーバーで273点を獲得した。274点の目標を追いかけていた南オーストラリア州は、19オーバーで70-2とリードしたところで雨で中断し、再開時にはイニング数が36オーバー（残り17オーバー）に減った。

したがって、サウスオーストラリアの新しい目標は、勝つには 214 点 (36 オーバー)、引き分けには 213 点でした。 結局、全員が 174 点でアウトとなり、ニューサウスウェールズが 213 − 174 = 39 点で勝利しました。

南オーストラリアのイニングは 1 回中断され、1 回再開されたため、そのリソースは上記の一般的な式で次のように表されます: 利用可能なリソースの合計 = 100% - 最初の中断時に残っているリソース + 最初の再開時に残っているリソース = 100% - 68.6% + 46.7% = 78.1%。

2001年1月25日、西インド諸島はジンバブエと対戦した。^{[44] [45]}西インド諸島が先攻となり、雨のため2時間試合が中断するまでに47オーバー（予定50オーバー）で235対6とリードしていた。試合再開時には両イニングとも47オーバーに短縮され、西インド諸島のイニングは直ちに終了し、ジンバブエがイニングを開始した。

したがって、ジンバブエの目標は、勝つには 253 (47 オーバー)、引き分けには 252 でした。西インド諸島と同じオーバー数しか打てなかったにもかかわらず、目標が引き上げられたのは妥当です。なぜなら、イニングが 47 オーバーで打ち切られると知っていたら、西インド諸島は最後の数オーバーでより積極的に打って、より多くの得点を挙げていたはずだからです。ジンバブエは 175 でオールアウトとなり、西インド諸島が 252 − 175 = 77 ランで勝利しました。

これらのリソース パーセンテージは、2002 年の改訂前の 2001 年に使用されていたもので、わずかに異なる現在使用されている標準版のパーセンテージとは一致しません。また、ジンバブエのパー スコアの計算式は、当時使用されていた D/L の標準版から取得されています。現在はプロフェッショナル版が使用されており、R2>R1 の場合の計算式が異なります。計算式では、ジンバブエは重複する 89.8% のリソース (つまり、235 ランを獲得) で西インド諸島のパフォーマンスに匹敵し、追加の 97.4% - 89.8% = 7.6% のリソース (つまり、G50 (当時 225) の 7.6% を獲得 = 17.1 ラン) で平均パフォーマンスを達成する必要がありました。

西インド諸島のイニングは 1 回中断され (再開されていない)、リソースは上記の一般的な式で次のように表されます: 利用可能なリソースの合計 = 100% - 最初の中断時に残っているリソース = 100% - 10.2% = 89.8%。

2003年2月20日、オーストラリアは2003年クリケットワールドカッププールAでオランダと対戦した。^{[46] [47] [48] [49]}試合開始前の雨により試合は各47オーバーに短縮され、オーストラリアが先攻となった。

• 25オーバー（残り22オーバー）で109対2に達したところで雨が降り、試合は中断された。再開時には両イニングとも44オーバー（オーストラリアは残り19オーバー）に短縮された。
• オーストラリアが28オーバー（残り16オーバー）で123対2に到達した時点で、雨により再び試合が中断され、再開時には両イニングとも36オーバー（オーストラリアは残り8オーバー）に短縮された。
• オーストラリアは36オーバーで170-2で終了した。

したがって、オランダの目標は、勝つには 198 点 (36 オーバー)、引き分けには 197 点でした。オーストラリアと同じオーバー数の打席数だったにもかかわらず、目標が引き上げられたのは公平です。なぜなら、オーストラリアは、イニングが 36 オーバーしかないと知っていれば、最初の 28 オーバーで控えめに打席に立って、より多くのウィケットを犠牲にしてより多くの得点を獲得していたでしょうから。オランダの目標得点を引き上げることにより、オーストラリアが獲得できると思っていたオーバー数の一部が拒否されたときのオーストラリアに対する不当な扱いが相殺されます。オランダは 122 点でオールアウトとなり、オーストラリアは 197 − 122 = 75 点差で勝利しました。

オランダのパースコアのこの計算式は、当時使用されていた D/L の標準版から取られています。現在はプロフェッショナル版が使用されており、R2>R1 の場合の計算式が異なります。この計算式では、オランダは重複する 72.6% のリソース (つまり、170 ランを獲得) でオーストラリアのパフォーマンスに匹敵し、追加の 84.1% - 72.6% = 11.5% のリソース (つまり、G50 (当時は 235) の 11.5% を獲得 = 27.025 ラン) で平均パフォーマンスを達成する必要がありました。

試合後、メディアでは^、オーストラリアが最終再開後の最後の8オーバーで、ウィケットを失うことを避けるため、ラン数を最大化することよりも控えめにバッティングし、オランダのパースコアをさらに上げると考えたと報道された[47]。しかし、これが本当であれば、この考えは間違いだった。それは、50オーバーのイニングの最後の8オーバーで、ランを最大化するのではなくウィケットを節約することが間違いであるのと同じである。その時点では、各チームが利用できるリソースの量は固定されていたため（それ以上の雨による中断がない限り）、オランダのパースコアの計算式で不確定なのはオーストラリアの最終スコアだけだったので、オーストラリアはこれを最大化するよう努めるべきだった。

オーストラリアのイニングは 3 回中断され (1 回は開始前)、3 回再開されたため、オーストラリアのリソースは上記の一般的な式で次のように表されます。

使用可能な合計リソース = 100% − 1 回目の中断時に残っているリソース + 1 回目の再起動時に残っているリソース − 2 回目の中断時に残っているリソース + 2 回目の再起動時に残っているリソース − 3 回目の中断時に残っているリソース + 3 回目の再起動時に残っているリソース = 100% − 100% + 97.1% − 55.8% + 50.5% − 44.7% + 25.5% = 72.6%。

チーム 1 のイニング中は、目標スコアの計算 (上記参照) はまだ行われていません。

最初に打撃するチームの目的は、2 番目に打撃するチームのために計算される目標スコアを最大化することです。これは (プロフェッショナル エディションでは) 次の式によって決定されます。

${\displaystyle {\text{チーム 2 のパースコア}}={\text{チーム 1 のスコア}}\times {\frac {\text{チーム 2 のリソース}}{\text{チーム 1 のリソース}}}.}$

これら 3 つの用語について:

• チーム 1 のスコア: チーム 1 は、自身のスコアを増やすことで、常にチーム 2 の目標を増やします。
• チーム 2 のイニング開始時に、チーム 2 のリソースは10 ウィケットと利用可能なオーバー数となり、チーム 1 はこれに影響を与えることはできません。
• チーム 1 のリソースは次のように提供されます。

チーム 1 のイニングに今後中断がない場合は、チーム 1 が利用できるリソースの量は固定されます (中断があったかどうかに関係なく)。そのため、チーム 1 がチーム 2 の目標を増やすためにできることは、失ったウィケットの数を無視して、自身のスコアを増やすことだけです (影響を受けない通常の試合の場合と同様)。

ただし、チーム 1 のイニングに将来中断がある場合、より多くの得点を獲得する代わりに、中断前に使用するリソースの量を最小限に抑える (つまり、ウィケットを保存する) という戦略があります。 全体的に最善の戦略は、明らかにより多くの得点を獲得し、リソースを保存することですが、この 2 つのいずれかを選択する必要がある場合、得点を犠牲にしてウィケットを保存する (「保守的な」バッティング) 方がチーム 2 の目標を増やすのに効果的な場合があり、その逆 (「積極的な」バッティング) の場合もあります。

たとえば、チーム 1 は中断することなくバッティングを続けてきたが、イニングが 40 オーバー、つまり残り 10 オーバーで打ち切られると考えているとします。(すると、チーム 2 は 40 オーバーのバッティングを行うため、チーム 2 のリソースは 89.3% になります。) チーム 1 は、保守的にバッティングすれば 200-6 に到達でき、積極的にバッティングすれば 220-8 に到達できると考えています。

したがって、この場合、保守的な戦略により、チーム 2 の目標はより高くなります。

しかし、2 つの戦略の差が 200 対 2 または 220 対 4 のスコアであると仮定します。

この場合、積極的な戦略の方が適しています。

したがって、中断に備えてチーム 1 がとる最善のバッティング戦略は常に同じではなく、これまでの試合状況 (得点、失ったウィケット、使用したオーバー、中断があったかどうか) や、各戦略で何が起こるかについての意見 (さらに得点、失ったウィケット、使用したオーバーはどれくらいか? 中断の可能性はどのくらいか、いつ起こるか、どれくらい続くか – チーム 1 のイニングは再開されるか?) によって異なります。

この例では、2 つのバッティング戦略しか示されていませんが、実際には、他にもさまざまな戦略が考えられます。たとえば、「ニュートラル」、「セミアグレッシブ」、「スーパーアグレッシブ」、またはオーバー レートを遅くしてリソースの使用量を最小限にする時間の浪費などです。どの戦略が最善かは、事実と自分の意見を計算に入力して、結果を確認することでのみ判断できます。

もちろん、選択した戦略が裏目に出ることもあります。たとえば、チーム 1 が控えめに打つことを選択した場合、チーム 2 はこれを見て攻撃することを決め (得点をセーブすることに集中するのではなく)、チーム 1 はさらに多くの得点を獲得できず、ウィケットを失う可能性があります。

チーム 1 のイニングがすでに中断されている場合、使用される合計リソースの計算はこの例よりも複雑になります。

チーム 1 のイニング中、チーム 2 の目標は、設定される目標スコアを最小限に抑えることです。これは、チーム 1 のスコアを最小限に抑えるか、(上記のように) チーム 1 のイニングが将来中断される場合は、中断される前にチーム 1 が使用するリソース (つまり、ウィケットの喪失または投球オーバー) を最大化することによって達成されます。チーム 2 は、これらのいずれかの目標を達成するために、ボウリング戦略 (保守的と積極的) を変えることができます。つまり、上記と同じ計算を行い、各ボウリング戦略で将来失うラン、奪うウィケット、投球オーバーに関する意見を入力して、どれが最適かを判断することになります。

また、チーム 2 は、チーム 1 が特に保守的または積極的に打つように促すことができます (たとえば、フィールド設定を通じて)。

チーム 2 のイニング開始時に、目標 (指定されたオーバー数から) が設定されます。今後中断がない場合は、両チームとも通常どおりに最後までプレイできます。ただし、チーム 2 のイニングに中断が発生する可能性がある場合は、チーム 2 は D/L パー スコアを上回ることを目標とし、チーム 1 は D/L パー スコアを下回ることを目指します。これは、指定されたオーバー数が完了する前に試合が中止された場合、チーム 2 がパー スコアを上回っている場合はチーム 2 が勝者となり、チーム 2 がパー スコアを下回っている場合はチーム 1 が勝者となるためです。チーム 2 がパー スコアとまったく同じ場合は引き分けとなります (チーム 2 のイニングで最小数のオーバーが投げられていることが条件です)。

パースコアは、ボールが投げられるたび、またウィケットが失われるたびに増加し、使用されるリソースの量が増えます。たとえば、2003 年クリケット ワールド カップ決勝では、オーストラリアが最初にバッティングし、50 オーバーで 359 点を獲得しました。オーストラリアが 50 オーバーを完了した時点で、使用されたリソースの合計は R1=100% であったため、イニング全体でのインドのパースコアは 359 x R2/100% でした。ここで、R2 はその時点までに使用されたリソースの量です。下の表の最初の行に示すように、9 オーバー後にインドは 57-1 で、41 オーバーと 9 ウィケットが残っているため、リソースの 85.3% が使用されたことになります。したがって、100% - 85.3% = 14.7% が使用されました。したがって、9 オーバー後のインドのパースコアは 359 x 14.7%/100% = 52.773 となり、切り捨てられて 52 になります。

10番目のオーバーの6球で、インドの得点は0、0、0、1（ノーボールから）、ウィケットの損失、0でした。^[50]オーバーの開始時にインドはパースコアをリードしていましたが、ウィケットの損失によりパースコアが55から79に跳ね上がり、パースコアを下回りました。

D/L 方式は、天候の影響で得点がすでに減っている試合で、2 番目に打つチームの現在の公式最終目標スコアを見つける以外にも使用できます。

2 番手のチームのイニング中、追いかけるチームが、このオーバー数とウィケット損失数で、1 番手のチームのスコアに匹敵するスコアを達成した場合に平均で獲得すると予想されるラン数 (D/L パー スコアと呼ばれる) が、実際のスコアとともにコンピューターのプリントアウト、スコアボード、テレビに表示され、ボールごとに更新されます。これは、天候によって試合時間が短縮されそうで D/L が導入される予定の試合、または天候の影響をまったく受けない試合でも発生することがあります。これは次のようになります。

• 観客と選手が、追いかける側が目標スコアに到達するために平均的に必要なスコアよりも良い成績を収めているか悪い成績を収めているかを理解できるようにする。
• 試合が中止になった場合、どちらのチームが勝ったかを決定するために、バッティングチームのスコアが比較される。表示されるのはパースコア、つまり同点スコアである。勝つための目標スコアは、これより1点多いスコアである。南アフリカは、プリントアウトのパースコアが目標スコアであると誤って信じ、スリランカとの同点で2003年ワールドカップから脱落した^{[51] [52]}

2番打者がランチェイスに成功した場合、D/L法を使用して、フルイニング（ワンデイインターナショナルでは50オーバー）で何ランを獲得したかを予測し、この予測をネットランレートの計算に使用できることが示唆されています。^[53]

この提案は、NRR がウィケットの喪失を考慮していないこと、また、2 番目に打って勝ったチームが不当に不利な扱いを受けていることに対する批判に応えるものである。2 番目に打って勝ったチームは、そのイニングが短いため、フルで打席に立った他のイニングよりも NRR の計算で重視されないからである。

D/L方式は、ウィケットがオーバーよりもはるかに重視されるリソースであるという理由で批判されており、チームが大きな目標を追いかけており、雨が降る可能性がある場合、ウィケットを失わずに「負ける」率で得点することが勝利戦略になる可能性があるという提案につながっています（たとえば、必要な率が6.1の場合、最初の20〜25オーバーでオーバーあたり4.75で得点すれば十分かもしれません）。^[54] 2015年のDLSの更新ではこの欠陥が認識され、1イニングで得点が多かったことに応じて、2イニングの開始時にチームが得点する必要のある率が変更されました。

もう一つの批判は、D/L方式では、フィールド制限が適用されるイニング数と完了した試合数との割合の変化を考慮していないというものである。^[55]

最近の研究では、実際に完了した試合のボールごとのODIデータベースを使用して、この方法の精度を評価しています。^[56]これらの研究では、後攻チームが20〜24オーバーで0〜2ウィケットを失った場合、DLSパースコアの精度は試合の最終的な勝者を50〜60％しか予測できないという結論が出ています。

クリケットファンやジャーナリストからのD/L方式に対するより一般的な非公式の批判は、それが過度に複雑で誤解される可能性があるというものである。^{[57] [58]}例えば、2009年3月20日のイングランドとのワンデイマッチでは、西インド諸島のコーチ（ジョン・ダイソン）は、D/L方式ではチームが1点差で勝つと信じて選手を呼び出しましたが、最後のボールでウィケットを失ったことでダックワース・ルイスのスコアが変わったことに気づいていませんでした。実際、試合審判員のジャバガル・スリナスは、西インド諸島が目標に2点足りなかったことを確認し、イングランドの勝利となった。

また、Twenty20の試合への適合性についても懸念が提起されている。Twenty20の試合では、高得点のオーバーによって試合の状況が劇的に変わる可能性があり、オーバー数の少ない試合ではランレートの変動性が高くなるからである。^[59]

ダックワース・ルイス・メソッドは、ディヴァイン・コメディのニール・ハノンとパグウォッシュのトーマス・ウォルシュによって結成されたポップグループの名前です。彼らの最初のリリースは、クリケットをテーマにした曲を収録した同名のアルバムでした。 ^{[60] [61]}

• ダックワース、FC & ルイス、AJ「ワンデイクリケットのターゲットを再設定するためのダックワース ルイス メソッドの総合ガイド」、Acumen Books、2004 年ISBN 0-9548718-0-4 
• ダックワース、F「国際クリケットにおける統計の役割」統計教育、（2001 年 6 月）第 23 巻第 2 号、38 ～ 44 ページ
• ダックワース、FC & ルイス、AJ「中断されたワンデイクリケット試合で目標を再設定するための公正な方法」オペレーションズリサーチ協会ジャーナル、（1998年3月）第49巻第3号pp 220-227 JSTOR  3010471

• D/L 方式: よくある質問への回答 (2012 年 9 月更新) 国際クリケット評議会、2012 年 9 月 (2013 年 8 月 6 日アーカイブ)
• フランク・ダックワース & トニー・ルイス D/L メソッド: よくある質問への回答 ESPN Cricinfo、2008 年 12 月
• 中断されたワンデイクリケット試合における目標スコアを調整する D/L (ダックワース/ルイス) 方式 - ICC の D/L 方式 (標準版) リソース割合表 国際クリケット評議会、2002 年
• ダックワース・ルイス法 (2001) ESPN Cricinfo、2001
• 雨の影響を受けたターゲット BBCスポーツ、
• Duckworth-Lewis.com ダックワース ルイス法の標準版用の Web ベースの計算機
• D/L CricketArchive の代替品(サブスクリプションが必要)
• 統計学者トニー・ルイスによる、クリケットのワンデイ試合におけるダックワース・ルイスのスコアリング方法に関する論文。ウォーリック大学モダン・レコード・センター、1992-2009年
• DLS 法の精度に関するデータサイエンスの見解 DLS 法の精度の内訳