スペースを倍増

数学において、計量dを持つ計量空間 Xが倍加的であるとは、倍加定数M > 0が存在し、任意のx ∈ Xおよびr > 0に対して、球B ( x , r ) = { y | d ( x , y ) < r }を、半径⁠の球の最大M個の和集合で覆うことが可能であるということを意味する。r/2⁠。 ^[1] Mの 2 を底とする対数はXの倍加次元と呼ばれる。 ^{[2]通常のユークリッド計量を備えた}ユークリッド空間は、倍加定数M が次元 dに依存する倍加空間の例である。たとえば、1 次元ではM = 3であり、2 次元ではM = 7である。 ^[3]一般に、ユークリッド空間は 倍加次元 を持つ。 ^{[2] [4]} ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle \Theta (d)}$

距離空間幾何学における重要な問題は、双リプシッツ関数によってユークリッド空間に埋め込むことができる距離空間を特徴付けることである。これは、距離空間を本質的にユークリッド空間のサブセットとして考えることができることを意味する。すべての距離空間がユークリッド空間に埋め込めるわけではない。一方、距離空間の倍加は、距離空間が無限次元ではないことを倍加条件が示しているため、より多くの可能性を持っているように思われる。しかし、これは一般にはまだ当てはまらない。カルノー-カラテオドリ距離を持つハイゼンベルク群は、どのユークリッド空間にも埋め込むことができない倍加距離空間の例である。^[5]

アソウドの定理は、M倍加距離空間Xに対して、 0 < ε < 1に対して距離d ( x , y ) ^εを与えると、 L双リプシッツ写像が存在し、dとL はMとεに依存することを述べています。 ${\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} ^{d}}$

距離空間X上の非自明な測度は、任意の球の測度が有限であり、その球の2倍の測度とほぼ等しい場合、またはより正確には、定数C >  0 が存在し、

${\displaystyle 0<\mu (B(x,2r))\leq C\mu (B(x,r))<\infty \,}$

Xに属するすべてのxとr  >0に対して成り立つ。この場合、μはC倍増であると言う。実際、必然的にC  2であることが証明できる。^[6] ${\displaystyle \geq }$

倍加測度をサポートする計量測度空間は必然的に倍加計量空間であり、倍加定数は定数 Cに依存する。逆に、すべての完全な倍加計量空間は倍加測度をサポートする。^{[7] [8]}

倍加測度の簡単な例としては、ユークリッド空間上のルベーグ測度があげられる。しかし、ユークリッド空間上の倍加測度が ルベーグ測度に関して特異となることもある。実数直線上の例としては、次の測度の列の弱極限が挙げられる: ^[9]

${\displaystyle d\mu_{n}=\prod_{i=1}^{n}(1+a\cos(3^{i}2\pi x))\,dx,\;\;\;|a|<1.}$

区間 [0, 1] 上の別の特異な倍加測度μ を次のように構成することができます。各k  ≥ 0 について、単位区間 [0,1] を長さ 3 ^{− kの 3 k 個}の区間に分割します。Δ を各kについて得られる [0,1] 内のすべてのそのような区間の集合(これらは3 項区間) とし、そのような各区間Iについて、m ( I ) をその「中央の 3 分の 1」区間とします。0 <  δ  < 1 を固定し、μ をμ ([0, 1]) = 1 となる測度とし、各 3 項区間Iについて、μ ( m ( I )) =  δμ ( I ) とします。これにより、 [0, 1] 上のルベーグ測度に特異な倍加測度が得られます。^[10]

倍加測度の定義は恣意的であるか、純粋に幾何学的な興味から来ているように見えるかもしれません。しかし、古典的な調和解析と計算幾何学からの多くの結果は、倍加測度を持つ距離空間の設定にまで及びます。

• 高速道路の寸法