特異な尺度

数学では、可測空間上で定義された2つの正の（または符号付きまたは複素）測度とが特異測度と呼ばれるのは、2つの互いに素な可測集合が存在し、その和が のすべての可測部分集合上で がゼロであり、のすべての可測部分集合上で がゼロであるような場合です。これは次のように表されます。${\displaystyle \mu}$${\displaystyle \nu}$ ${\displaystyle (\Omega ,\Sigma )}$${\displaystyle A,B\in \Sigma }$${\displaystyle \オメガ}$${\displaystyle \mu}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \nu}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle \mu \perp \nu .}$

ルベーグの分解定理の改良形は、特異測度を特異連続測度と離散測度に分解します。例については以下を参照してください。

特別なケースとして、ユークリッド空間 上で定義された測度は、この空間上のルベーグ測度に関して特異である場合に、特異測度と呼ばれます。たとえば、ディラックのデルタ関数は特異測度です。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

例:離散測定。

実数直線上のヘヴィサイドの階段関数は、その 分布微分としてディラックのデルタ分布 を持ちます。これは実数直線上の測度であり、 における「質点」です。しかし、ディラック測度はルベーグ測度に関して絶対連続ではなく、に関しても絶対連続ではありませんが、が0を含まない任意の空でない開集合である場合、$${\displaystyle H(x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}{\begin{cases}0,&x<0;\\1,&x\geq 0;\end{cases}}}$$ ${\displaystyle \delta_{0}}$${\displaystyle 0.}$ ${\displaystyle \delta_{0}}$${\displaystyle \lambda ,}$${\displaystyle \lambda}$${\displaystyle \delta_{0}:}$ ${\displaystyle \lambda (\{0\})=0}$${\displaystyle \delta _{0}(\{0\})=1;}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \lambda (U)>0}$${\displaystyle \delta _{0}(U)=0.}$

例:特異な連続測定。

カントール分布の累積分布関数は連続ではあるが絶対連続ではなく、実際その絶対連続部分はゼロです。つまり、特異連続です。

例:特異連続測定${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

フレシェ・ホフディングの上限と下限は、2 次元の特異分布です。

• 絶対連続性（測度論）  – 関数の連続性の形式リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• ルベーグの分解定理
• 特異分布 – 測度ゼロの集合に集中した分布フォールバックとしてウィキデータの説明を表示するページ

• Eric W Weisstein、『CRC Concise Encyclopedia of Mathematics』、CRC Press、2002年。ISBN 1-58488-347-2 。
• J Taylor, An Introduction to Measure and Probability、Springer、1996年。ISBN 0-387-94830-9。 

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