ドゥーブ・マイヤー分解定理

ドゥーブ＝マイヤー分解定理は、確率微分方程式における定理であり、劣マルチンゲールがマルチンゲールと増加予測過程の和として一意的に分解できる 条件を述べている。この定理は、ジョセフ・L・ドゥーブとポール＝アンドレ・マイヤーにちなんで名付けられた。

1953年、ドゥーブは特定の離散時間マルチンゲールの一意分解を与えるドゥーブ分解定理を発表した。 ^{[ 1 ]}彼はこの定理の連続時間版を予想し、1962年と1963年の2つの論文でポール＝アンドレ・メイヤーがそのような定理を証明し、それはドゥーブ＝メイヤー分解として知られるようになった。^{[ 2 ] [ 3 ]}ドゥーブに敬意を表して、メイヤーは彼の一意分解定理が適用される超マルチンゲールのクラスを指すのに「クラスD」という用語を使用した。^{[ 4 ]}

超マルチンゲール${\displaystyle Z}$クラスDである場合${\displaystyle Z_{0}=0}$そしてコレクション

$\displaystyle \{Z_{T}\mid T{\text{有限値の停止時間}}\}}$

一様積分可能である。^{[ 5 ]}

させて${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{t\geq 0},\mathbb {P} )}$通常の条件を満たすフィルター付き確率空間である（すなわち、フィルター処理は右連続かつ完備である。フィルター処理（確率論）を参照）。${\displaystyle X=(X_{t})_{t\geq 0}}$がクラス D の右連続サブマルチンゲールである場合、一意の適応プロセスが存在する。${\displaystyle M}$そして${\displaystyle A}$そのため

${\displaystyle X_{t}=M_{t}+A_{t},\qquad t\geq 0,}$

どこ

• ${\displaystyle M}$は一様積分可能なマルチンゲールであり、
• ${\displaystyle A}$は予測可能で右連続な増加プロセスであり、${\displaystyle A_{0}=0}$。

分解${\displaystyle (M,A)}$区別がつかないほど独自性がある。

注記。クラスDのスーパーマルチンゲールの場合、プロセスAは有界区間上で積分可能かつ有限変動である。^{[ 6 ]}

• ドゥーブ分解定理

• Doob, JL (1953).確率過程. Wiley.
• Meyer, Paul-André (1962). "A Decomposition theorem for supermartingales" . Illinois Journal of Mathematics . 6 (2): 193– 205. doi : 10.1215/ijm/1255632318 .
• Meyer, Paul-André (1963). "超マルチンゲールの分解：一意性定理" . Illinois Journal of Mathematics . 7 (1): 1– 17. doi : 10.1215/ijm/1255637477 .
• プロッター、フィリップ（2005）。確率積分と微分方程式。シュプリンガー・フェルラーク。107-113頁。ISBN  3-540-00313-4。
• Karatzas, Ioannis; Shreve, Steven E. (1991). Brownian Motion and Stochastic Calculus . Graduate Texts in Mathematics. Vol.  113 (2nd  ed.). Springer. ISBN 978-0-387-97655-6。