ディクソンの予想

ディクソン予想（ディクソンのじゅんけい）は、数学の一分野である数論において、ディクソン（1904）が述べた予想であり、 $b$ $i$ $\geq 1$ となる有限の線型形式 $a$ $1$ $+$ $b$ $1$ $n$ 、 $a$ $2$ $+$ $b$ $2$ $n$ 、...、 $a$ $k$ $+$ $b$ $k$ $n$ の集合に対して、合同条件によってこれを妨げる場合を除き、すべて素数となる正の整数 $n が$ 無限に存在するというものである（Ribenboim 1996、6.I）。k = 1 の場合はディリクレの定理である。

他の 2 つの特殊なケースは、よく知られた予想です。双子素数は無限に存在する( nと 2 + nは素数)、ソフィー・ジェルマン素数は無限に存在する( nと 1 + 2 nは素数) というものです。

一般化されたディクソンの予想

正の次数と整数係数を持つn 個の多項式 ( nは任意の自然数) がそれぞれブニャコフスキー予想の 3 つの条件をすべて満たし、任意の素数pに対して整数xが存在し、その値におけるn個の多項式すべてがpで割り切れない場合、これらのn個の多項式のxにおける値がすべて素数となる正の整数x が無数に存在する。たとえば、この予想が正しい場合、、、がすべて素数となる正の整数x が無数に存在する。すべての多項式の次数が 1 の場合、これが元のディクソンの予想である。この一般化は、一般化されたブニャコフスキー予想およびシンツェルの仮説 Hと同等である。 $x^{2}+1$ $3x-1$ $x^{2}+x+41$

参照

参考文献

ディクソン、LE（1904）、「素数に関するディリクレの定理の新しい拡張」、メッセンジャーオブ数学、33：155-161
リベンボイム、パウロ（1996）、素数記録の新書、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-94457-9、MR 1377060