回転数に関するデンジョイの定理

数学において、デンジョイの定理は、円の微分同相写像が特殊な種類の微分同相写像、すなわち無理回転と位相的に共役になるための十分条件を与える。デンジョイ(1932) は、円の同相写像の位相 的分類の過程でこの定理を証明した。彼はまた、無理回転数を持つC ¹微分同相写像が回転と共役ではない 例を示した。

ƒ :  S ¹  →  S ^{1を、回転数}θ = ρ ( ƒ )が無理数である円の方向保存微分同相写像とする。これが正の導関数ƒ ′ ( x ) > 0 を持ち、区間 [0,1) で有界変化を伴う連続関数であると仮定する。すると、 ƒ はθによる無理数回転と位相的に共役となる。さらに、すべての軌道は稠密であり、円のすべての非自明な区間I は、何らかのq > 0 について、その前方像ƒ ° ^q ( I ) と交差する (これは、 ƒの非移動集合が円全体である ことを意味する)。

ƒがC ²マップである場合、導関数に関する仮説は成り立ちます。ただし、任意の無理数回転に対して、デンジョイは、この条件がC ¹、つまりƒの 連続微分可能性に緩和できないことを示す例を構築しました。

ウラジミール・アーノルドは、円の解析的微分同相写像であっても、共役写像は滑らかである必要はないことを示した。後にミシェル・ハーマンは、それにもかかわらず、解析的微分同相写像の共役写像は「ほとんどの」回転数に対して解析的であり、完全なルベーグ測度の集合を形成することを証明した。つまり、有理数で近似するのが難しいものに対してである。彼の結果はさらに一般化しており、任意の r ≥ 3 のC ^r微分同相写像の共役写像の微分可能クラスを指定している 。

• 円形マップ

• Denjoy、Arnaud (1932)、「Sur les courbes definies par les équations différentielles à la surface du tore.」、Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (フランス語)、11 : 333–375、Zbl  0006.30501
• Herman, MR (1979)、「回転微分法による共役微分法」、Publ.数学。 IHÉS (フランス語)、49 : 5–234、doi :10.1007/BF02684798、S2CID  118356096、Zbl  0448.58019
• コーンフェルト、シナイ、フォーミン、エルゴード理論。

• ジョン・ミルナー、デンジョイの定理