デゲンの8平方のアイデンティティ

数学において、デゲンの 8 平方等式は、それぞれが 8 平方の和である 2 つの数の積が、それ自体が 8 平方の和であることを確立します。つまり、 $${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}+a_{5}^{2}+a_{6}^{2}+a_{7}^{2}+a_{8}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}+b_{5}^{2}+b_{6}^{2}+b_{7}^{2}+b_{8}^{2}\right)=\\[1ex]&\quad \left(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}-a_{5}b_{5}-a_{6}b_{6}-a_{7}b_{7}-a_{8}b_{8}\right)^{2}+\\&\quad \left(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3}+a_{5}b_{6}-a_{6}b_{5}-a_{7}b_{8}+a_{8}b_{7}\right)^{2}+\\&\quad \left(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}+a_{5}b_{7}+a_{6}b_{8}-a_{7}b_{5}-a_{8}b_{6}\right)^{2}+\\&\quad \left(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1}+a_{5}b_{8}-a_{6}b_{7}+a_{7}b_{6}-a_{8}b_{5}\right)^{2}+\\&\quad \left(a_{1}b_{5}-a_{2}b_{6}-a_{3}b_{7}-a_{4}b_{8}+a_{5}b_{1}+a_{6}b_{2}+a_{7}b_{3}+a_{8}b_{4}\right)^{2}+\\&\quad \left(a_{1}b_{6}+a_{2}b_{5}-a_{3}b_{8}+a_{4}b_{7}-a_{5}b_{2}+a_{6}b_{1}-a_{7}b_{4}+a_{8}b_{3}\right)^{2}+\\&\quad \left(a_{1}b_{7}+a_{2}b_{8}+a_{3}b_{5}-a_{4}b_{6}-a_{5}b_{3}+a_{6}b_{4}+a_{7}b_{1}-a_{8}b_{2}\right)^{2}+\\&\quad \left(a_{1}b_{8}-a_{2}b_{7}+a_{3}b_{6}+a_{4}b_{5}-a_{5}b_{4}-a_{6}b_{3}+a_{7}b_{2}+a_{8}b_{1}\right)^{2}\end{aligned}}}$$

この恒等式は、1818年頃にカール・フェルディナンド・デゲンによって初めて発見され、その後ジョン・トーマス・グレイブス（1843年）とアーサー・ケイリー（1845年）によって独立に再発見された。後者の2人は、四元数の拡張である八元数の研究中にこの恒等式を導出した。代数用語で言えば、この恒等式は、 2つの八元数の積のノルムがそれらのノルムの積に等しいことを意味する。同様のことが、四元数（オイラーの4平方恒等式）、複素数（ブラフマグプタ・フィボナッチの2平方恒等式）、実数にも当てはまる。 1898 年にアドルフ・フルヴィッツは、 16 個の正方形 (セデニオン) や 1、2、4、8 以外の任意の数の正方形には同様の双線型恒等式は存在しないことを証明しました。しかし、1960 年代に、H. ザッセンハウス、W. アイヒホルン、A. フィスターは (それぞれ独立に) 16 個の正方形には非双線型恒等式が存在する可能性があることを示しました。 ${\displaystyle \left\|ab\right\|=\left\|a\right\|\left\|b\right\|}$

各象限はオイラーの四平方恒等式のバージョンに簡約されることに注意してください。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&\left(a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}\right)\left(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}\right)=\\&\quad \left(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}\right)^{2}+\\&\quad \left(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3}\right)^{2}+\\&\quad \left(a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2}\right)^{2}+\\&\quad \left(a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1}\right)^{2}\end{aligned}}}$$

他の 3 つの象限についても同様です。

コメント: 8 平方恒等式の証明は代数的評価によって行われます。8 平方恒等式は、8 次元ベクトルの 2 つの内積の積の形で記述でき、再び 8 次元ベクトルの内積が得られます: ( a · a )( b · b ) = ( a × b )·( a × b ) 。これは、デゲンの 8 平方恒等式と八元数の数学を反映した 八元数の乗法規則a × b を定義します。

フィスターの定理により、異なる種類の8平方恒等式を与えることができる。ここで、以下で紹介する は、非双線型で、の単なる有理関数である。したがって、 ${\displaystyle z_{i}}$${\displaystyle x_{i},y_{i}}$$${\displaystyle \left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}+x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}\right)\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+y_{3}^{2}+y_{4}^{2}+y_{5}^{2}+y_{6}^{2}+y_{7}^{2}+y_{8}^{2}\right)=z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+z_{4}^{2}+z_{5}^{2}+z_{6}^{2}+z_{7}^{2}+z_{8}^{2}}$$

どこ、 $${\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}&=x_{1}y_{1}-x_{2}y_{2}-x_{3}y_{3}-x_{4}y_{4}+u_{1}y_{5}-u_{2}y_{6}-u_{3}y_{7}-u_{4}y_{8}\\z_{2}&=x_{2}y_{1}+x_{1}y_{2}+x_{4}y_{3}-x_{3}y_{4}+u_{2}y_{5}+u_{1}y_{6}+u_{4}y_{7}-u_{3}y_{8}\\z_{3}&=x_{3}y_{1}-x_{4}y_{2}+x_{1}y_{3}+x_{2}y_{4}+u_{3}y_{5}-u_{4}y_{6}+u_{1}y_{7}+u_{2}y_{8}\\z_{4}&=x_{4}y_{1}+x_{3}y_{2}-x_{2}y_{3}+x_{1}y_{4}+u_{4}y_{5}+u_{3}y_{6}-u_{2}y_{7}+u_{1}y_{8}\\z_{5}&=x_{5}y_{1}-x_{6}y_{2}-x_{7}y_{3}-x_{8}y_{4}+x_{1}y_{5}-x_{2}y_{6}-x_{3}y_{7}-x_{4}y_{8}\\z_{6}&=x_{6}y_{1}+x_{5}y_{2}+x_{8}y_{3}-x_{7}y_{4}+x_{2}y_{5}+x_{1}y_{6}+x_{4}y_{7}-x_{3}y_{8}\\z_{7}&=x_{7}y_{1}-x_{8}y_{2}+x_{5}y_{3}+x_{6}y_{4}+x_{3}y_{5}-x_{4}y_{6}+x_{1}y_{7}+x_{2}y_{8}\\z_{8}&=x_{8}y_{1}+x_{7}y_{2}-x_{6}y_{3}+x_{5}y_{4}+x_{4}y_{5}+x_{3}y_{6}-x_{2}y_{7}+x_{1}y_{8}\end{aligned}}}$$

そして、

$${\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}&={\frac {(ax_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2})x_{5}-2x_{1}(bx_{1}x_{5}+x_{2}x_{6}+x_{3}x_{7}+x_{4}x_{8})}{c}}\\u_{2}&={\frac {(x_{1}^{2}+ax_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2})x_{6}-2x_{2}(x_{1}x_{5}+bx_{2}x_{6}+x_{3}x_{7}+x_{4}x_{8})}{c}}\\u_{3}&={\frac {(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+ax_{3}^{2}+x_{4}^{2})x_{7}-2x_{3}(x_{1}x_{5}+x_{2}x_{6}+bx_{3}x_{7}+x_{4}x_{8})}{c}}\\u_{4}&={\frac {(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+ax_{4}^{2})x_{8}-2x_{4}(x_{1}x_{5}+x_{2}x_{6}+x_{3}x_{7}+bx_{4}x_{8})}{c}}\end{aligned}}}$$

と、 $${\displaystyle a=-1,\;\;b=0,\;\;c=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+x_{4}^{2}}$$

ちなみに、アイデンティティに従うと、 ${\displaystyle u_{i}}$$${\displaystyle u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}+u_{4}^{2}=x_{5}^{2}+x_{6}^{2}+x_{7}^{2}+x_{8}^{2}}$$

• フィスターの16平方の同一性
• ケイリー・ディクソン構成
• 超複素数
• ラテン方陣

• MathWorldにおける Degen の 8 平方等式
• デゲン・グレイブス・ケイリーの8乗等式
• フィスターの 16 平方のアイデンティティは、2016 年 9 月 17 日にWayback Machineにアーカイブされました。