流動的なキュー

待ち行列理論（数学的確率論の一分野）において、流体待ち行列（流体モデル、^[1] 流体フローモデル^[2]または確率的流体モデル^[3]）は、ランダムに決定される充填および排出期間の対象となる貯水池の流体レベルを記述するために使用される数学モデルである。ダム理論という用語は、以前の文献ではこれらのモデルに対して使用されていた。このモデルは、離散モデルを近似したり、山火事の広がりをモデル化したり、^[4]破滅理論[ ^5]や高速データネットワークをモデル化するために使用されてきた。^{[6]このモデルは}、リーキーバケットアルゴリズムを確率的ソースに 適用する。

このモデルは1954年にパット・モランによって初めて導入され、離散時間モデルが検討されました。^{[7] [8] [9]流動キューでは、} M/M/1キューやM/G/1キューなどのモデルのように、到着が離散的ではなく連続的になることが許可されます。

流体キューは、ネットワークスイッチ^[10] 、ルーター^[11]、IEEE 802.11プロトコル^{[12] 、}非同期転送モード（ B-ISDNの対象となる技術）^[13]、[14] 、ピアツーピアファイル共有^[15] 、 [ 16] 、光バーストスイッチング^{[17]のパフォーマンスをモデル化するために使用されており、}ダムを設計する際の土木工学にも応用されています。^[17]このプロセスは、効率的な解法が知られている準誕生-死亡プロセスと密接に関連しています。 ^{[18] [19]}

流体キューは、通常、無限の容量があると想定される大きなタンクとみなすことができます。このタンクには、タンクに流体を注ぐ一連のパイプと、タンクから流体を取り出す一連のポンプが接続されています。オペレータは、バッファに流体が流入する速度と流体が流出する速度を制御するパイプとポンプを制御します。オペレータがシステムを状態iにすると、この状態での正味の流体到着速度（入力から出力を差し引いた値）をr _{i と}書きます。バッファに流体が含まれている場合、時刻tでの流体レベルをX ( t )と書くと、^[20]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} X(t)}{\mathrm {d} t}}={\begin{cases}r_{i}&{\text{ if }}X(t)>0\\\max(r_{i},0)&{\text{ if }}X(t)=0.\end{cases}}}$

演算子は連続時間マルコフ連鎖であり、通常、環境プロセス、バックグラウンドプロセス^[21]、または駆動プロセス^[6]と呼ばれます。プロセスXはバッファー内の液体のレベルを表すため、負でない値のみを取ります。

このモデルは、区分決定論的マルコフ過程の特定のタイプであり、境界条件を持つ マルコフ報酬モデルとして見ることもできます。

定常分布は、 Asmussen ^[22]によって初めて示された位相型分布^{[2]であり、}行列解析法を使用して計算することができます。^[10]

加法分解法は数値的に安定しており、計算に必要な固有値をシュアー分解を用いて分離する。^{[23] [24]}

サービスのレートが一定で、到着が生成行列を持つ 連続時間マルコフ連鎖に従ってレートλと0（それぞれ状態1と2）の間で変動する単純なシステムの場合

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}-\alpha &\alpha \\\beta &-\beta \end{pmatrix}}}$

定常分布は明示的に計算することができ、^{[6]で与えられる。}

${\displaystyle F(x,1)={\frac {\beta }{\alpha +\beta }}\left(1-e^{\left({\frac {\beta }{\mu }}-{\frac {\alpha }{\lambda -\mu }}\right)x}\right)}$

${\displaystyle F(x,2)={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}-{\frac {\beta \left(\lambda -\mu \right)}{\alpha +\beta }}e^{\left({\frac {\beta }{\mu }}-{\frac {\alpha }{\lambda -\mu }}\right)x}}$

平均体液レベル^[25]

${\displaystyle {\frac {(\lambda -\mu )\beta }{(\mu (\alpha +\beta )-\beta \lambda )(\alpha +\beta )}}(\mu ,\lambda - \mu )。}$

ビジー期間は、流体が最初にバッファに到着した瞬間（X（t）がゼロ以外になる）からバッファが再び空になる（X（t）がゼロに戻る）までの時間です。以前の文献では、ウェット期間（ダムの）と呼ばれることもあります。^[26]ビジー期間分布のラプラス・スティルチェス変換は、無限バッファを持つ流体キュー^{[27] [28] [29]}と、有限バッファと瞬間ジャンプとして到着する場合の期待ビジー期間で知られています。 ^[26]

一定のサービス率μと到着率λおよび0の無限バッファは、パラメータ

${\displaystyle Q={\begin{pmatrix}-\alpha &\alpha \\\beta &-\beta \end{pmatrix}}}$

ビジー期間分布のラプラス・スティルチェス変換をW *( s )と書き、 ^[29]

${\displaystyle W^{\ast }(s)={\frac {\beta \lambda +s\lambda -\beta \mu +\alpha \mu -{\sqrt {4\beta \alpha \mu (\mu -\lambda )+(s\lambda +\beta (\lambda -\mu )+\alpha \mu )^{2}}}}{2\beta (\lambda -\mu )}}}$

平均繁忙期^[30 ]

${\displaystyle \mathbb {E} (W)={\frac {\lambda }{\alpha \mu +\beta (\lambda -\mu )}}$

この場合、単一のオン/オフソースのビジー期間分布は故障率の減少関数であることが知られており、ビジー期間が長く続くほど、ビジー期間が長く続く可能性が高いことを意味します。^[31]

一般的に、ビジー期間を解くには、スペクトル分解法と反復回帰法の2つの主なアプローチがあります。^{[32]変換の点を計算するための}2次収束 アルゴリズムは、AhnとRamaswamiによって発表されました。^[33]

たとえば、サービス レートμ = 2 の流体キューに、パラメーターα  = 2、β  = 1、λ = 3 のオン/オフ ソースからデータが供給される場合 、流体キューのビジー期間は平均 1、分散 5/3 になります。

有限バッファでは、流体が失われる速度（バッファがいっぱいになったためにシステムから排除される速度）は、ラプラス・スティルチェス変換を使用して計算できます。^[34]

マウンテンプロセスという用語は、ビジー期間中に達成される最大バッファコンテンツプロセス値を表すために造られており、G/M/1キューの結果を使用して計算できます。^{[35] [36]}

2つのタンデム流体キューの定常分布が計算され、非自明な場合には積形定常分布を示さないことが示された。^{[25] [30] [37] [38] [39]}

フィードバック流体キューは、モデルパラメータ（遷移率行列とドリフトベクトル）がバッファコンテンツにある程度依存することを許容するモデルである。通常、バッファコンテンツは分割されており、パラメータはバッファコンテンツプロセスがどのパーティションにあるかによって決まる。^[40]順序付きシュール分解は、このようなモデルの定常分布を効率的に計算するために使用できる。^[41]

2次流体キュー（マルコフ変調拡散過程またはブラウン運動ノイズを伴う流体キュー^[42]と呼ばれることもある）は、マルコフ過程によって制御されるパラメータを持つ反射ブラウン運動を考慮します。 ^{[22] [43]}一般的に、吸収と反射という2つの異なるタイプの境界条件が考慮されます。^[44]

• BuTools は、上記の結果の一部をMATLAB、Python、Mathematica で実装したものです。
• PevaTools、マルチレジームモデル用のMATLABコード
• MAM8 での V. Ramaswami による流体フロー モデルのチュートリアル