ダゴスティーノのK二乗検定

統計学において、ラルフ・ダゴスティーノにちなんで名付けられたダゴスティーノのK ²検定は、正規性からの逸脱の適合度の尺度であり、与えられたデータと、データが独立した同一分布のガウス確率変数の実現であるという帰無仮説との適合性を測定することを目的としています。この検定は、サンプルの尖度と歪度の変換に基づいており、分布が歪んでいる、または尖っているという対立仮説に対してのみ検出力があります。

以下では、{  x _i } はn 個の観測値 の標本、g ₁とg ₂は標本の歪度と尖度、m _jはj番目の標本中心積率、は標本平均を表します。正規性検定に関する文献では、歪度と尖度はそれぞれ√ β ₁とβ ₂と表記されることがよくあります。このような表記は、たとえば√ β ₁が負の量になる場合があるため、不便です。 ${\displaystyle {\bar {x}}}$

標本の歪度と尖度は次のように定義される。

${\displaystyle {\begin{aligned}&g_{1}={\frac {m_{3}}{m_{2}^{3/2}}}={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{3}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}\right)^{3/2}}}\ ,\\&g_{2}={\frac {m_{4}}{m_{2}^{2}}}-3={\frac {{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{4}}{\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left(x_{i}-{\bar {x}}\right)^{2}\right)^{2}}}-3\ .\end{aligned}}}$

これらの量は、それぞれ分布の理論的な歪度と尖度を一貫して推定します。さらに、サンプルが実際に正規母集団から取得された場合、歪度と尖度の正確な有限サンプル分布は、平均μ ₁、分散μ ₂、歪度γ ₁、尖度γ ₂の観点から分析できます。これはピアソン (1931) によって行われ、次の式が導き出されました。^{[より良いソースが必要]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mu _{1}(g_{1})=0,\\&\mu _{2}(g_{1})={\frac {6(n-2)}{(n+1)(n+3)}},\\&\gamma _{1}(g_{1})\equiv {\frac {\mu _{3}(g_{1})}{\mu _{2}(g_{1})^{3/2}}}=0,\\&\gamma _{2}(g_{1})\equiv {\frac {\mu _{4}(g_{1})}{\mu _{2}(g_{1})^{2}}}-3={\frac {36(n-7)(n^{2}+2n-5)}{(n-2)(n+5)(n+7)(n+9)}}.\end{aligned}}}$

そして

${\displaystyle {\begin{aligned}&\mu _{1}(g_{2})=-{\frac {6}{n+1}},\\&\mu _{2}(g_{2})={\frac {24n(n-2)(n-3)}{(n+1)^{2}(n+3)(n+5)}},\\&\gamma _{1}(g_{2})\equiv {\frac {\mu _{3}(g_{2})}{\mu _{2}(g_{2})^{3/2}}}={\frac {6(n^{2}-5n+2)}{(n+7)(n+9)}}{\sqrt {\frac {6(n+3)(n+5)}{n(n-2)(n-3)}}},\\&\gamma _{2}(g_{2})\equiv {\frac {\mu _{4}(g_{2})}{\mu _{2}(g_{2})^{2}}}-3={\frac {36(15n^{6}-36n^{5}-628n^{4}+982n^{3}+5777n^{2}-6402n+900)}{n(n-3)(n-2)(n+7)(n+9)(n+11)(n+13)}}.\end{aligned}}}$

たとえば、正規分布する母集団から抽出されたサイズn = 1000のサンプルは、歪度0、SD 0.08、尖度0、SD 0.15になることが予想されます。ここで、SD は標準偏差を示します。^{[引用が必要]}

標本の歪度g ₁と尖度g ₂は、どちらも漸近的に正規分布です。しかし、分布の限界への収束速度は、特にg ₂の場合、イライラするほど遅いです。たとえば、n = 5000の観測値であっても、標本の尖度g _{2 は}歪度と尖度がどちらも約 0.3 であり、無視できない値です。この状況を改善するために、分布が標準正規分布にできるだけ近くなるように 量g ₁とg _{2 を変換することが提案されています。}

特に、D'Agostino & Pearson (1973) は、サンプルの歪度について次のような変換を提案しました。

${\displaystyle Z_{1}(g_{1})=\delta \operatorname {asinh} \left({\frac {g_{1}}{\alpha {\sqrt {\mu _{2}}}}}\right),}$

ここで定数αとδは次のように計算される。

${\displaystyle {\begin{aligned}&W^{2}={\sqrt {2\gamma _{2}+4}}-1,\\&\delta =1/{\sqrt {\ln W}},\\&\alpha ^{2}=2/(W^{2}-1),\end{aligned}}}$

ここで、μ ₂ = μ ₂ ( g _{1 ) は}g ₁の分散、γ ₂ = γ ₂ ( g ₁ ) は尖度です（前のセクションで示した式）。

同様に、Anscombe & Glynn (1983)は、サンプルサイズが20以上の場合に適切に機能する g ₂の変換を提案しました。

${\displaystyle Z_{2}(g_{2})={\sqrt {\frac {9A}{2}}}\left\{1-{\frac {2}{9A}}-\left({\frac {1-2/A}{1+{\frac {g_{2}-\mu _{1}}{\sqrt {\mu _{2}}}}{\sqrt {2/(A-4)}}}}\right)^{\!1/3}\right\},}$

どこ

${\displaystyle A=6+{\frac {8}{\gamma _{1}}}\left({\frac {2}{\gamma _{1}}}+{\sqrt {1+4/\gamma _{1}^{2}}}\right),}$

μ ₁ = μ ₁ ( g ₂ )、μ 2 ₌ μ 2 ₍ g 2 ₎、γ ₁ = γ ₁ ( g ₂ ) はピアソンによって計算された量です。

統計Z ₁とZ ₂を組み合わせると、歪度または尖度による正規性からの偏差を検出できるオムニバス テストを作成できます (D'Agostino、Belanger、D'Agostino 1990)。

${\displaystyle K^{2}=Z_{1}(g_{1})^{2}+Z_{2}(g_{2})^{2}\,}$

正規性の帰無仮説が正しい場合、K ²は自由度 2 で 近似的にχ ²分布します。

統計量g ₁、g _{2 は}独立ではなく、相関がないだけであることに注意する。したがって、それらの変換Z ₁、Z _{2 も}従属的になり (Shenton & Bowman 1977)、χ ²近似の妥当性が疑わしくなる。シミュレーションでは、帰無仮説の下ではK ²検定統計量は次のように特徴付けられる。

• シャピロ・ウィルク検定
• ジャック・ベラテスト