相互相関行列

2 つのランダム ベクトルの相互相関行列は、ランダム ベクトルのすべての要素のペアの相互相関を要素として含む行列です。相互相関行列は、さまざまなデジタル信号処理アルゴリズムで使用されます。

2つのランダムベクトル とに対して、それぞれが期待値と分散を持つランダム要素を含む場合、ととの相互相関行列は次のように定義されます^{[1] ：p.337}${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{m})^{\rm {T}}}$${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})^{\rm {T}}}$${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {Y} }$

次元は です。成分ごとに記述すると次のようになります。 ${\displaystyle m\times n}$

${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }={\begin{bmatrix}\operatorname {E} [X_{1}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{1}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{1}Y_{n}]\\\\\operatorname {E} [X_{2}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{2}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{2}Y_{n}]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\operatorname {E} [X_{m}Y_{1}]&\operatorname {E} [X_{m}Y_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{m}Y_{n}]\\\\\end{bmatrix}}}$

ランダム ベクトルとは同じ次元である必要はなく、どちらもスカラー値である可能性があります。 ${\displaystyle \mathbf {X} }$${\displaystyle \mathbf {Y} }$

たとえば、と がランダムベクトルである場合、 は 番目の要素が である行列になります。 ${\displaystyle \mathbf {X} =\left(X_{1},X_{2},X_{3}\right)^{\rm {T}}}$${\displaystyle \mathbf {Y} =\left(Y_{1},Y_{2}\right)^{\rm {T}}}$${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }}$${\displaystyle 3\times 2}$${\displaystyle (i,j)}$${\displaystyle \operatorname {E} [X_{i}Y_{j}]}$

とが複素ランダムベクトルで、それぞれが期待値と分散を持つランダム変数を含む場合、との相互相関行列は次のように定義されます。 ${\displaystyle \mathbf {Z} =(Z_{1},\ldots ,Z_{m})^{\rm {T}}}$${\displaystyle \mathbf {W} =(W_{1},\ldots ,W_{n})^{\rm {T}}}$${\displaystyle \mathbf {Z} }$${\displaystyle \mathbf {W} }$

${\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }\triangleq \ \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{\rm {H}}]}$

ここで はエルミート転置を表します。 ${\displaystyle {}^{\rm {H}}}$

2つのランダムベクトルは、次の場合 、無相関と呼ばれます。${\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{m})^{\rm {T}}}$${\displaystyle \mathbf {Y} =(Y_{1},\ldots ,Y_{n})^{\rm {T}}}$

${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{\rm {T}}]=\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{\rm {T}}.}$

相互共分散行列がゼロの場合にのみ、それらは無相関です。 ${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }}$

2つの複素ランダムベクトル の場合、それらは相関がないと呼ばれます。 ${\displaystyle \mathbf {Z} }$${\displaystyle \mathbf {W} }$

${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{\rm {H}}]=\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {W} ]^{\rm {H}}}$

そして

${\displaystyle \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {W} ^{\rm {T}}]=\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {W} ]^{\rm {T}}.}$

相互相関は相互共分散行列と次のように関連しています。

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }=\operatorname {E} [(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {Y} -\operatorname {E} [\mathbf {Y} ])^{\rm {T}}]=\operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {Y} }-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{\rm {T}}}$

複素ランダムベクトルの場合:

${\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ])(\mathbf {W} -\operatorname {E} [\mathbf {W} ])^{\rm {H}}]=\operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {W} }-\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {W} ]^{\rm {H}}}$

• 自己相関
• 相関関係は因果関係を意味するものではない
• 共分散関数
• ピアソン積率相関係数
• 相関関数（天文学）
• 相関関数（統計力学）
• 相関関数（量子場理論）
• 相互情報
• レート歪み理論
• 放射分布関数

• Hayes, Monson H.,統計的デジタル信号処理およびモデリング、John Wiley & Sons, Inc.、1996年。ISBN 0-471-59431-8。 
• Solomon W. Golomb、Guang Gong . 良好な相関関係を実現する信号設計: 無線通信、暗号化、レーダー向け。ケンブリッジ大学出版局、2005 年。
• M. Soltanalian. アクティブセンシングと通信のための信号設計。ウプサラ科学技術学部論文（Elanders Sverige AB 印刷）、2014 年。