数学において、 ベイトマン多項式は、 ベイトマン (1933)によって導入された 直交多項式 の 族 F n です 。 ベイトマン-パスタナック多項式は、 パスタナック (1939) によって導入された一般化です。
ベイトマン多項式は、次の関係式で定義される。
ふ
ん
（
d
d x
）
ゼック （ x ） = ゼック （ x ）
ポ
ん
（ タン （ x ） ） 。
{\displaystyle F_{n}\left({\frac {d}{dx}}\right)\オペレーター名 {sech} (x)=\オペレーター名 {sech} (x)P_{n}(\tanh(x) )。}
ここで P n は ルジャンドル多項式 である。 一般化された超幾何関数 では 、これらは次のように表される。
ふ
ん
（ x ） =
3
ふ
2
（
− ん 、
ん + 1 、
1 2
（ x + 1 ）
1 、
1
; 1
）
。
{\displaystyle F_{n}(x)={}_{3}F_{2}\left({\begin{array}{c}-n,~n+1,~{\tfrac {1}{2}}(x+1)\\1,~1\end{array}};1\right).}
パスタナック（1939）はベイトマン多項式を多項式 Fに一般化した。 m n と
ふ
ん
メートル
（
d
d x
）
ゼック
メートル + 1
（ x ） =
ゼック
メートル + 1
（ x ）
ポ
ん
（ タン （ x ） ）
{\displaystyle F_{n}^{m}\left({\frac {d}{dx}}\right)\オペレーター名 {sech} ^{m+1}(x)=\オペレーター名 {sech} ^{m +1}(x)P_{n}(\tanh(x))}
これらの一般化多項式は、一般化超幾何関数による表現も持ち、すなわち
ふ
ん
メートル
（ x ） =
3
ふ
2
（
− ん 、
ん + 1 、
1 2
（ x + メートル + 1 ）
1 、
メートル + 1
; 1
）
。
{\displaystyle F_{n}^{m}(x)={}_{3}F_{2}\left({\begin{array}{c}-n,~n+1,~{\tfrac {1}{2}}(x+m+1)\\1,~m+1\end{array}};1\right).}
カーリッツ（1957）は、タッチャード（1956）が研究した 多項式 Q n （タッチャード多項式 を参照）は、変数の変更を除けばベイトマン多項式と同じであることを示した。より正確には、
質問
ん
（ x ） = （ − 1
）
ん
2
ん
ん ！
（
2 ん
ん
）
− 1
ふ
ん
（ 2 x + 1 ）
{\displaystyle Q_{n}(x)=(-1)^{n}2^{n}n!{\binom {2n}{n}}^{-1}F_{n}(2x+1) }
ベイトマン多項式とパスタナック多項式は、対称 連続ハーン多項式 の特殊なケースです。
例 小さなn の多項式 を読む
ふ
0
（ x ） = 1
{\displaystyle F_{0}(x)=1}
;
ふ
1
（ x ） = − x
{\displaystyle F_{1}(x)=-x}
;
ふ
2
（ x ） =
1 4
+
3 4
x
2
{\displaystyle F_{2}(x)={\frac {1}{4}}+{\frac {3}{4}}x^{2}}
;
ふ
3
（ x ） = −
7 12
x −
5 12
x
3
{\displaystyle F_{3}(x)=-{\frac {7}{12}}x-{\frac {5}{12}}x^{3}}
;
ふ
4
（ x ） =
9 64
+
65 96
x
2
+
35 192
x
4
{\displaystyle F_{4}(x)={\frac {9}{64}}+{\frac {65}{96}}x^{2}+{\frac {35}{192}}x^{4}}
;
ふ
5
（ x ） = −
407 960
x −
49 96
x
3
−
21 320
x
5
{\displaystyle F_{5}(x)=-{\frac {407}{960}}x-{\frac {49}{96}}x^{3}-{\frac {21}{320}}x^{5}}
;
プロパティ
直交性 ベイトマン多項式は直交関係を満たす [1] [2]
∫
− ∞
∞
ふ
メートル
（ 私 x ）
ふ
ん
（ 私 x ）
ゼック
2
（
π x
2
）
d x =
4 （ − 1
）
ん
π （ 2 ん + 1 ）
δ
メートル ん
。
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }F_{m}(ix)F_{n}(ix)\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {\pi x}{2}}\right)\,dx={\frac {4(-1)^{n}}{\pi (2n+1)}}\delta _{mn}.}
この式の右辺に 係数が現れる理由は、ここで定義されるベイトマン多項式は 、虚数引数に対して実数値を保つために 係数でスケールされる必要があるためです。直交関係は、 で定義される修正多項式集合で表現するとより単純になり、 次のようになります。
（ − 1
）
ん
{\displaystyle (-1)^{n}}
私
ん
{\displaystyle i^{n}}
B
ん
（ x ） =
私
ん
ふ
ん
（ 私 x ）
{\displaystyle B_{n}(x)=i^{n}F_{n}(ix)}
∫
− ∞
∞
B
メートル
（ x ）
B
ん
（ x ）
ゼック
2
（
π x
2
）
d x =
4
π （ 2 ん + 1 ）
δ
メートル ん
。
{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }B_{m}(x)B_{n}(x)\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {\pi x}{2}}\right)\,dx={\frac {4}{\pi (2n+1)}}\delta _{mn}.}
再帰関係 ベイトマン多項式の列は再帰関係を満たす [3]
（ ん + 1
）
2
ふ
ん + 1
（ ず ） = − （ 2 ん + 1 ） ず
ふ
ん
（ ず ） +
ん
2
ふ
ん − 1
（ ず ） 。
{\displaystyle (n+1)^{2}F_{n+1}(z)=-(2n+1)zF_{n}(z)+n^{2}F_{n-1}(z).}
生成関数 ベイトマン多項式には生成関数も存在する。
∑
ん = 0
∞
t
ん
ふ
ん
（ ず ） = （ 1 − t
）
ず
2
ふ
1
（
1 + ず
2
、
1 + ず
2
; 1 ;
t
2
）
、
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }t^{n}F_{n}(z)=(1-t)^{z}\,_{2}F_{1}\left({\frac {1+z}{2}},{\frac {1+z}{2}};1;t^{2}\right),}
これは時々、それらを定義するために使われます。 [4]
参考文献
^ ケーリンク（1996） ^ Bateman, H. (1934)、「多項式 F n ( x ) {\displaystyle F_{n}(x)}」、 Ann. Math. 35 (4): 767-775。 ^ ベイトマン（1933）、28ページ。 ^ ベイトマン（1933）、23ページ。
Al-Salam, Nadhla A. (1967). 「超幾何多項式のクラス」. Ann. Mat. Pura Appl . 75 (1): 95–120. doi : 10.1007/BF02416800 . ベイトマン, H. (1933)、「多項式の特定の集合のいくつかの性質」、 東北数学ジャーナル 、 37 : 23–38、 JFM 59.0364.02 カーリッツ、レナード (1957)、「ベルヌーイ数に関連するタッチャールの多項式」、 カナダ数学ジャーナル 、 9 : 188–190、 doi : 10.4153/CJM-1957-021-9 、 ISSN 0008-414X、 MR 0085361 Koelink, HT (1996)、「ヤコビ多項式と連続ハーン多項式について」、 アメリカ数学会紀要 、 124 (3): 887–898、 arXiv : math/9409230 、 doi : 10.1090/S0002-9939-96-03190-5 、 ISSN 0002-9939、 MR 1307541 パステルナック、サイモン（1939）、「多項式F n (x)の一般化」、 ロンドン、エディンバラ、ダブリン哲学雑誌および科学ジャーナル 、 28 （187）：209–226、 doi ：10.1080 / 14786443908521175、 MR 0000698 Touchard, Jacques (1956)、「Nombres exponentiels et nombres de Bernoulli」、 Canadian Journal of Mathematics 、 8 : 305–320、 doi : 10.4153/cjm-1956-034-1 、 ISSN 0008-414X、 MR 0079021 
