条件付きイベント代数

確率論において、条件付きイベント代数( CEA ) は、標準的なブール代数(よく知られているand、or、notの演算によって互いに関連付けられた一連の可能なイベント) の代替であり、通常のイベントだけでなく、「if A、 then B」という形式を持つ条件付きイベントも含みます。CEA の一般的な目的は、方程式P (if A then B ) = P ( A and B ) / P ( A ) を満たすイベントの確率関数Pの定義を基盤とすることです。

モチベーション

標準的な確率論では、イベントの発生は一連の可能な結果に対応しており、各結果はイベントの発生に対応する結果です。イベントAの確率P ( A ) は、イベントAに対応するすべての結果の確率の合計です。P ( B ) は、イベントBに対応するすべての結果の確率の合計です。そして、P ( AおよびB )は、 AとB の両方に対応するすべての結果の確率の合計です。言い換えると、およびは、通常、論理記号 ∧ によって表され、積集合P ( A ∧ B ) = P ( A ∩ B ) として解釈されます。同様に、または、∨ は、和集合 ∪ になり、、¬は、補集合 ′ になります。および、または、およびnotの演算を使用したイベントの任意の組み合わせもイベントであり、すべての結果に確率を割り当てると、すべてのイベントの確率が生成されます。技術的に言えば、これは、イベントの集合と 3 つの演算が組み合わさって、関連する確率関数を持つ集合のブール代数を構成することを意味します。

標準的な慣例では、P (if A , then B ) は、物質的含意の規則に従ってP ( A ′ ∪ B )とは解釈されず、 Aが与えられた場合のBの条件付き確率、P ( B | A ) = P ( A ∩ B ) / P ( A ) と解釈されます。ここで疑問が生じます。P (if A , then B、if C , then D ) のような確率はどうでしょうか。これについては、標準的な答えはありません。一貫性を保つために必要となるのは、if-thenを二項演算 → として扱うことです。これにより、条件付きイベントA → BおよびC → Dについて、P ( A → B ) = P ( B | A )、P ( C → D ) = P ( D | C )、およびP (( A → B ) ∧ ( C → D )) が明確に定義され、合理的になります。ロバート・スタルネイカーを含む哲学者は、理想的には条件付き事象代数（CEA）が次の 3 つの条件を満たす確率関数をサポートすると主張しました。

1. 確率関数は通常の公理を満たします。

2. 任意の2つの通常事象AとBについて、P ( A )>0ならば、P ( A → B )= P ( B | A ) = P ( A∧B ) / P ( A )となる。

3. 通常のイベントAと許容可能な確率関数Pに対して、P ( A )>0であれば、Aを条件として生成される関数であるPA = P ( ⋅|A)も許容_可能な確率関数です。

しかし、デイビッド・ルイスは1976 年に、現在ルイスの自明性の結果として知られる事実を証明しました。これらの条件は、自明な例で標準的なアプローチをほぼ用いてのみ満たすことができます。特に、これらの条件は、たとえばコイン投げ 1 回のように、可能な結果が 2 つしかない場合にのみ満たすことができます。可能な結果が 3 つ以上ある場合、確率関数を構築するには、上記の 3 つの条件のうちどれに違反するかを選択する必要があります。A → B をA ′ ∪ Bと解釈すると、 2に違反する通常のブール代数が生成されます。CEA の場合、選択は 1 と 3 の間で行われます。^[1]

条件付きイベント代数の種類

3イベントCEA

3 イベント CEA は3 値論理からヒントを得ており、3 値論理では、論理積、論理和、否定を単純な集合演算と同一視することはもはや適用されません。通常のイベントAとBの場合、3 イベントA → B は、 AとB の両方が発生するときに発生し、 Aが発生するがB が発生しない場合は発生せず、Aが発生しない場合は未決定です。(「3 イベント」という用語は、 de Finetti (1935)のtriévénementに由来します。) 決して未決定にならない通常のイベントは、結果のサンプル空間全体によって表される空イベントである Ω を条件とする 3 イベントとして代数に組み込まれます。したがって、A はΩ → Aになります。

3 値論理は多数存在するため、3 イベント代数も多数考えられます。しかし、他の 2 つのタイプよりも関心を集めているタイプがあります。1 つのタイプでは、A ∧ BとA ∨ B は、 AとB の両方が未決定の場合にのみ未決定です。どちらか一方が未決定の場合、連言または選言はもう一方の連言または選言に従います。否定が明白な方法で処理され、A が未決定の場合に¬ A が未決定になる場合、このタイプの 3 イベント代数は、 Sobociński (1920) によって提案され、Belnap (1973) によって支持され、条件文に対する Adams (1975) の「準連言」によっても示唆される3 値論理に対応します。Schay (1968) は代数的処理を最初に提案し、Calabrese (1987) はそれをより適切に展開しました。^[2]

もう 1 つのタイプの 3 イベント CEA は、否定を最初のものと同じように扱いますが、論理積と論理和をそれぞれ最小関数と最大関数として扱い、発生を高い値、失敗を低い値、未決定をその間に置きます。このタイプの 3 イベント代数は、Łukasiewicz (1920) によって提案され、de Finetti (1935) も支持した 3 値論理に対応します。Goodman、Nguyen、Walker (1991) は最終的に代数定式化を提供しました。

3 イベントの確率は、それが発生する確率を、それが発生するか発生しないかの確率で割ったものとして定義されます。^[3]この規則では、上記の条件 2 と 3 は、2 つの主要な 3 イベント CEA タイプによって満たされます。ただし、条件 1 は満たされません。Sobociński 型代数では、∧ は∨ に分配されないため、 P ( A ∧ ( B ∨ C )) とP (( A ∧ B ) ∨ ( A ∧ C )) は等しい必要はありません。^[4] Łukasiewicz 型代数では、∧ は ∨ に分配されますが、排他的論理和( A B = ( A ∧ ¬ B ) ∨ (¬ A ∧ B )) には分配されません。^[5]また、3イベントCEAは補完格子ではなく、擬補完格子にすぎません。一般に、( A → B )∧¬( A → B )は発生せず、未決定となる可能性があり、したがって格子の底部要素であるΩ→∅と同一ではないためです。これは、P ( C )とP ( C (( A → B )∧¬( A → B )))が異なる可能性があることを意味しますが、古典的にはそうではありません。 $\oplus$ $\oplus$ $\oplus$

製品分野CEA

P ( AならばB )を一連の試行でAかつB がAかつBでないよりも先に発生する確率と考えると、これは単純な確率の無限和として計算できます。つまり、最初の試行でAかつBである確率、最初の試行でAでない(かつBかBでない)確率、2 回目の試行でAかつBである確率、最初の 2 回の試行でAでない確率、3 回目の試行でAかつBである確率、などとなります。つまり、P ( A ∧ B ) + P (¬ A ) P ( A ∧ B ) + P (¬ A ) ²P ( A ∧ B ) + …、または因数分解するとP ( A ∧ B )[1 + P (¬ A ) + P (¬ A ) ² + …] となります。 2番目の因数は1 / [1 – P ( ¬A )] = 1 / P ( A )のマクローリン級数展開なので、無限和はP ( A ∧ B ) / P ( A ) = P ( B | A )に等しくなります。

無限和自体は単純な確率ですが、サンプル空間には単一の試行の通常の結果ではなく、通常の結果の無限シーケンスが含まれます。したがって、条件付き確率P ( B | A ) は、すべての通常の結果のサンプル空間 Ω をすべての通常の結果のシーケンスのサンプル空間 Ω* に置き換え、条件付きイベント A → B を最初の ( A ∧ B ) 結果が最初の ( A ∧ ¬ B ) 結果の前に来るシーケンスの集合と同一視することで、単純な確率P ( B → A )に変換されます。デカルト積表記では、Ω* = Ω × Ω × Ω × …であり、A → Bは無限和 [( A ∩ B ) × Ω × Ω × …] ∪ [ A ′ × ( A ∩ B ) × Ω × Ω × …] ∪ [ A ′ × A ′ × ( A ∩ B ) × Ω × Ω × …] ∪ … です。無条件イベントAは、この場合も、条件付きイベント Ω → Aによって表されます。^[6] 3 イベント CEA とは異なり、このタイプの CEA は、通常の無条件イベントだけでなく条件付きイベントについても、∧、∨、¬ をよく知られた演算 ∩、∪、および ′ と同一視することをサポートします。 Ω* は無限に長い直積によって定義される空間であるため、Ω* の条件付きイベントサブセットのブール代数は積空間 CEA と呼ばれます。このタイプの CEA は、ルイスの結果に応じて van Fraassen (1976) によって導入され、後に Goodman と Nguyen (1994) によって独立に発見されました。

ネストされた if-then

入れ子になった条件構文についてはどうでしょうか。3イベントCEAでは、右入れ子構文は多かれ少なかれ自動的に処理されます。なぜなら、Aが真の場合はA → ( B → C )がB → C（おそらく未決定）の値を取り、 Aが偽の場合は未決定であると言うのが自然だからです。しかし、左入れ子では、より慎重な選択が必要です。A → Bが未決定の場合、( A → B ) → Cは未決定であるべきか、それともCの値を取るべきでしょうか。意見はさまざまです。Calabreseは後者の見解を採用し、( A → B ) → ( C → D )を((¬ A ∨ B ) ∧ C ) → Dと同一視しています。^[8]

積空間CEAでは、ネストされた条件文はネストされたシーケンス構築を必要とする。つまり、P (( A → B ) → ( C → D )) を評価するには、通常の結果のシーケンスのメタシーケンスのサンプル空間が必要である。通常のシーケンスの確率は前と同じように計算される。結果が通常の結果のシーケンスである一連の試行が与えられた場合、P (( A → B ) → ( C → D ) ) は、P ( C → D | A → B ) = P ( ( A → B ) ∧ ( C → D ) ) / P ( A → B ) であり、(( A → B ) ∧ ¬( C → B )) シーケンスの前に (( A → B ) ∧ ( C → B ) )シーケンスに遭遇する確率である。条件文の高次反復には、高次のメタシーケンシャル構築が必要である。^[9]

3 イベント CEA の 2 つの主要なタイプのどちらでも、A → ( B → C ) = ( A ∧ B ) → Cです。^[10]一方、積空間 CEA はこの同一性をサポートしません。後者の事実は、すでに述べたように、 P A ( B → C ) がP A ( C | B ) と等しくないことから推測できます。これは、 P A ( C | B ) = P (( A ∧ B ) → C ) であり、_P A ( B → C ₎ = P ( A → ( _B → C ) )であるためです。ただし、直接分析する_には、最初のメンバーシーケンスが( A ∧ ¬ B ∧ C ) 結果で始まり、次に( ¬ A ∧ B ∧ C ) 結果が続き、さらに( A ∧ B ∧ ¬ C ) 結果が続くメタシーケンスを検討します。最初のメンバーシーケンスは ( A ∧ ( B → C )) シーケンスであるため、そのメタシーケンスはイベントA → ( B → C ) に属しますが、最初のメンバーシーケンスは (( A ∧ B ) → ¬ C ) シーケンスであるため、メタシーケンスはイベント ( A ∧ B ) → Cには属しません。

アプリケーション

CEA の当初の動機は理論的なもの、つまりルイスの自明性の結果に対応するという課題でしたが、実用的な応用も提案されています。たとえば、イベントAとC が軍事レーダー基地から発信された信号に関係し、イベントBとD がミサイル発射に関係する場合、自動ミサイル防衛システムを備えた敵軍は、システムがP (( A → B ) ∧ ( C → D )) および/またはP (( A → B ) → ( C → D )) を計算できることを望むかもしれません。^{[11]その他の応用は、}画像解釈^{[12]からコンピュータネットワークに対する}サービス拒否攻撃の検出まで多岐にわたります。^[13]

注記

^ CEA の文献では、実際には ( B | A ) を「 AならばB 」という意味で使用していますが、この表記法では特定の点を明確に述べることが難しくなります。そのため、また読みやすさを向上させるために、本記事ではより一般的なA → Bを使用します。
^ Schay は実際には 2 つの代数を指定しており、1 つは ∧ に関連し、もう 1 つは ∨ に関連します。この開発の流れは他のものには引き継がれていません。
^ De Finetti 1935、p. 184。技術的には、確率関数には 2 つあります。Pは通常のイベントの範囲を取り、P * はPによって決定され、条件付きイベントの範囲を取ります。この表記の微妙な違いについては、ここでは無視します。
^ Aが真、Bが未決定、Cが偽の場合を考えます。
^ AまたはB のどちらかが真であるときにA Bが未決定の場合、Aが未決定でBとC が両方とも真であるときに、 A ∧ ( B C )と( A ∧ B ) ( A ∧ C )を比較します。 $\oplus$ $\oplus$ $\oplus$
^ Ω ∩ A = Aおよび Ω′ = ∅ であるため、Ω → Aを表す無限和集合はA × Ω × Ω × Ω × …となります。
^ Goodman、Mahler、Nguyen 1999、p. 7 では、後者の結果に必要な式が提供されています: P (( A → B ) ∧ ( C → D )) = [ P ( A ∧ B ∧ C ∧ D ) + P ( A ′ ∧ C ∧ D ) P ( B | A ) + P ( C ′ ∧ A ∧ B ) P ( D | C )] / P ( A ∨ C )。興味深い特別なケースは、P ((Ω → A ) ∧ ( B → C )) です。
^ カラブレーゼ1987年、217ページ。
^ グッドマンとグエン1995、281-283ページ。
^ この同一性は、いわゆる輸入・輸出の法則に論理的に対応しています。
^ グッドマン、マーラー、グエン 1999.
^ ケリー、デリン、ゴング 1999.
^ サンら 2014.

参考文献

アダムス、EW 1975。条件文の論理。D . ライデル、ドルドレヒト。

Bamber, D.、Goodman, IR、Nguyen, HT 2004.「条件付き知識からの演繹」。ソフトコンピューティング8: 247–255。

Belnap, ND 1973.「制限された量化と条件付きアサーション」、H. Leblanc (編)、Truth, Syntax and Modality North-Holland、アムステルダム、48–75 ページ。

Calabrese, P. 1987.「論理と確率の基礎の代数的統合」情報科学42:187-237。

デ・フィネッティ、ブルーノ。 1935年。「確率論の論理」。Actes du Congrès 国際哲学科学。パリ。

van Fraassen, Bas C. 1976. 「条件文の確率」、WL Harper および CA Hooker (編)、『確率理論、統計的推論、科学の統計理論の基礎』、第 1 巻、Reidel、ドルドレヒト、pp. 261–308。

Goodman, IR、Mahler, RPS、Nguyen, HT 1999.「条件付きイベント代数とは何か、なぜ気にする必要があるのか?」SPIE Proceedings、Vol. 3720。

Goodman, IR, Nguyen, HT、Walker, E .A. 1991.インテリジェントシステムのための条件付き推論と論理：測定不要の条件付けの理論。バージニア州アーリントンの海軍研究部長室。

Goodman, IR および Nguyen, HT 1994.「インテリジェントシステムにおける確率的推論のための条件付き情報の理論: II、積空間アプローチ、III 数学的付録」。情報科学76:13-42; 75: 253-277。

Goodman, IR および Nguyen, HT 1995.「条件文の数学的基礎とその確率的割り当て」。不確実性、あいまいさ、知識ベースシステムの国際ジャーナル3(3): 247-339

Kelly, PA, Derin, H.、および Gong, W.-B. 1999.「画像推定とシステムモデリングのための条件付きイベントとランダムセットのいくつかのアプリケーション」。SPIE Proceedings 3720: 14-24。

Łukasiewicz、J. 1920。「Ologice trójwartościowej」（ポーランド語）。ルーシュ・フィロゾフィチヌイ 5:170–171。英語翻訳: 「On three-valuedlogic」、L. Borkowski (編)、Jan Łukasiewicz の作品集、北オランダ、アムステルダム、1970 年、87 ～ 88 ページ。 ISBN 0-7204-2252-3

Schay, Geza. 1968. 「条件付きイベントの代数」. Journal of Mathematical Analysis and Applications 24: 334-344.

Sobociński, B. 1952.「命題の3値計算の部分システムの公理化」。Journal of Computing Systems 1(1):23-55。

Sun, D.、Yang, K.、Jing, X.、Lv, B.、および Wang, Y. 2014.「条件付きイベント代数に基づく異常なネットワークトラフィック検出」。応用力学および材料644-650: 1093-1099。

[1] CEA の文献では、実際には ( B | A ) を「 AならばB 」という意味で使用していますが、この表記法では特定の点を明確に述べることが難しくなります。そのため、また読みやすさを向上させるために、本記事ではより一般的なA → Bを使用します。

[2] Schay は実際には 2 つの代数を指定しており、1 つは ∧ に関連し、もう 1 つは ∨ に関連します。この開発の流れは他のものには引き継がれていません。

[3] De Finetti 1935、p. 184。技術的には、確率関数には 2 つあります。Pは通常のイベントの範囲を取り、P * はPによって決定され、条件付きイベントの範囲を取ります。この表記の微妙な違いについては、ここでは無視します。

[4] Aが真、Bが未決定、Cが偽の場合を考えます。

[5] AまたはB のどちらかが真であるときにA Bが未決定の場合、Aが未決定でBとC が両方とも真であるときに、 A ∧ ( B C )と( A ∧ B ) ( A ∧ C )を比較します。 $\oplus$ $\oplus$ $\oplus$

[6] Ω ∩ A = Aおよび Ω′ = ∅ であるため、Ω → Aを表す無限和集合はA × Ω × Ω × Ω × …となります。

[7] Goodman、Mahler、Nguyen 1999、p. 7 では、後者の結果に必要な式が提供されています: P (( A → B ) ∧ ( C → D )) = [ P ( A ∧ B ∧ C ∧ D ) + P ( A ′ ∧ C ∧ D ) P ( B | A ) + P ( C ′ ∧ A ∧ B ) P ( D | C )] / P ( A ∨ C )。興味深い特別なケースは、P ((Ω → A ) ∧ ( B → C )) です。

[8] カラブレーゼ1987年、217ページ。

[9] グッドマンとグエン1995、281-283ページ。

[10] この同一性は、いわゆる輸入・輸出の法則に論理的に対応しています。

[11] グッドマン、マーラー、グエン 1999.

[12] ケリー、デリン、ゴング 1999.

[13] サンら 2014.