1995年ムバララ町生まれのウガンダ人ソーシャルメディアインフルエンサー/ブロガー
球面上の超曲面に関するチャーンの予想は、 微分幾何学 の分野でチャーンが提唱した予想であり、2018年現在未解決である 。この予想は、チャーンの未解決の疑問に由来する。
定数長の第二基本形式 を持ち、 その平方が で示される 単位球面内に埋め込まれた 閉じた 極小 部分多様体 について考えます 。 の値の集合は 離散的でしょうか? のこれらの値の下限は何ですか ?
ま
ん
{\displaystyle M^{n}}
S
ん + メートル
{\displaystyle S^{n+m}}
σ
{\displaystyle \sigma}
σ
{\displaystyle \sigma}
σ >
ん
2 −
1 メートル
{\displaystyle \sigma >{\frac {n}{2-{\frac {1}{m}}}}}
最初の質問、つまりσ の値の集合 が離散的であるかどうかは、次のように言い換えることができます。
を定数長の第二基本形式を持つ の 閉じた極小部分多様体とし 、 の第二基本形式の長さの二乗のすべての可能な値の集合で表すと 、 は 離散的ですか?
ま
ん
{\displaystyle M^{n}}
S
ん + メートル
{\displaystyle \mathbb {S} ^{n+m}}
あ
ん
{\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}}
ま
ん
{\displaystyle M^{n}}
あ
ん
{\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}}
その肯定的な手は、超曲面に関するチャーンの予想よりも一般的であり、チャーンの予想 とも呼ばれ 、2018年現在、 M を超曲面としてさえも未解決である (チャーンは、1982年に 微分幾何学における シン・トン・ヤウ の未解決問題リスト にこの特殊なケースを提案した )。
一定のスカラー曲率を持つ内のすべてのコンパクトな極小 超曲面 の集合を考えます 。スカラー曲率をこの集合上の関数として考えます。 この関数の 像は 正の数の 離散集合でしょうか?
S
いいえ
{\displaystyle S^{N}}
代わりに次のように定式化されます:
一定のスカラー曲率を持つ 閉じた極小超曲面を考えてみましょう 。すると、それぞれに対して、 （または同等に ） のすべての可能な値の集合は離散的になります。
ま ⊂
S
ん + 1
{\displaystyle M\subset \mathbb {S} ^{n+1}}
け
{\displaystyle k}
ん
{\displaystyle n}
け
{\displaystyle k}
S
{\displaystyle S}
これは球面上の極小超曲面に関するチャーンの予想 （または 球面上の極小超曲面に関するチャーンの予想 ）
として知られるようになった。
この超曲面のケースは、後に等パラメトリック超曲面の研究の進歩により、 球面内の等パラメトリック超曲面に関するチャーンの予想 （または 球面内の等パラメトリック超曲面に関するチャーンの予想 ）として現在知られている新しい定式化を与えられました。
を一定のスカラー曲率を持つ単位球面の閉じた、最小浸漬超曲面とします 。 このとき、は 等径曲面です。
ま
ん
{\displaystyle M^{n}}
S
ん + 1
{\displaystyle S^{n+1}}
ま
{\displaystyle M}
ここで、 は(n+1)次元球面を指し、n ≥ 2です。
S
ん + 1
{\displaystyle S^{n+1}}
2008 年に、Zhiqin Lu は Chern の予想に似た予想を提案しましたが、 の代わりに を採用しました 。
σ +
λ
2
{\displaystyle \sigma +\lambda _{2}}
σ
{\displaystyle \sigma}
を定数 を持つ 単位球面上の閉じた極小浸漬部分多様体とする 。 の場合 、定数 が存在し 、
ま
ん
{\displaystyle M^{n}}
S
ん + メートル
{\displaystyle \mathbb {S} ^{n+m}}
σ +
λ
2
{\displaystyle \sigma +\lambda _{2}}
σ +
λ
2
> ん
{\displaystyle \sigma +\lambda _{2}>n}
ϵ （ ん 、 メートル ） > 0
{\displaystyle \epsilon (n,m)>0}
σ +
λ
2
> ん + ϵ （ ん 、 メートル ）
{\displaystyle \sigma +\lambda _{2}>n+\epsilon (n,m)}
ここで、 は n 次元の極小部分多様体を表します。は 半正値対称行列の 2 番目に大きい 固有値 を表します。ここで、 s ( ) は、 与えられた (局所的な) 正規直交フレームに関する の 形状 演算子 です。は と書き直すことができます 。
ま
ん
{\displaystyle M^{n}}
λ
2
{\displaystyle \lambda_{2}}
S := （
⟨
あ
α
、
B
β
⟩
）
{\displaystyle S:=(\left\langle A^{\alpha },B^{\beta }\right\rangle )}
あ
α
{\displaystyle A^{\alpha}}
α = 1 、 ⋯ 、 メートル
{\displaystyle \alpha =1,\cdots ,m}
ま
{\displaystyle M}
σ
{\displaystyle \sigma}
‖ σ ‖
2
{\displaystyle {\left\Vert \sigma \right\Vert }^{2}}
関連する別の予想は ロバート・ブライアント（数学者） によって提案されました。
定数スカラー曲率を持つの極小超球面の一部は、 型の等径球である。
S
4
{\displaystyle \mathbb {S} ^{4}}
グ ≤ 3
{\displaystyle g\leq 3}
代わりに次のように定式化されます:
を定数スカラー曲率を持つ極小超曲面とする。このとき、は 等 径曲面である。
M
⊂
S
4
{\displaystyle M\subset \mathbb {S} ^{4}}
M
{\displaystyle M}
チャーンの予想は階層的に 階層的にまとめ、単一のスタイルで定式化すると、Chern の予想 (Lu と Bryant の予想を除く) は次のようになります。
を単位球面上のコンパクトな極小超曲面と する 。 が 一定のスカラー曲率を持つ場合、 のスカラー曲率の可能な値は 離散集合を形成する。
M
{\displaystyle M}
S
n
+
1
{\displaystyle \mathbb {S} ^{n+1}}
M
{\displaystyle M}
M
{\displaystyle M}
この予想の改良版/より強力なバージョン (等パラメトリック超曲面予想) は同じですが、「if」の部分が次のように置き換えられます。 一定のスカラー曲率を持つ場合 、等 パラメトリックである
M
{\displaystyle M}
M
{\displaystyle M}
最も強力なバージョンでは、「if」の部分が次のように置き換えられます。 を の 2 番目の基本形式の長さの 2 乗 で表します 。 に対して と設定します 。すると、次の式が得られます。
S
{\displaystyle S}
M
{\displaystyle M}
a
k
=
(
k
−
sgn
(
5
−
k
)
)
n
{\displaystyle a_{k}=(k-\operatorname {sgn} (5-k))n}
k
∈
{
m
∈
Z
+
;
1
≤
m
≤
5
}
{\displaystyle k\in \{m\in \mathbb {Z} ^{+};1\leq m\leq 5\}}
任意の固定された に対して 、 であれ ば は 等径であり、 または
k
∈
{
m
∈
Z
+
;
1
≤
m
≤
4
}
{\displaystyle k\in \{m\in \mathbb {Z} ^{+};1\leq m\leq 4\}}
a
k
≤
S
≤
a
k
+
1
{\displaystyle a_{k}\leq S\leq a_{k+1}}
M
{\displaystyle M}
S
≡
a
k
{\displaystyle S\equiv a_{k}}
S
≡
a
k
+
1
{\displaystyle S\equiv a_{k+1}}
の場合 、 は 等径であり、
S
≥
a
5
{\displaystyle S\geq a_{5}}
M
{\displaystyle M}
S
≡
a
5
{\displaystyle S\equiv a_{5}}
あるいは、次のようにもできます。
を の 2 番目の基本形式の長さの 2 乗 で表します 。 に対して と設定します 。すると、次の式が得られます。
A
{\displaystyle A}
M
{\displaystyle M}
a
k
=
(
k
−
sgn
(
5
−
k
)
)
n
{\displaystyle a_{k}=(k-\operatorname {sgn} (5-k))n}
k
∈
{
m
∈
Z
+
;
1
≤
m
≤
5
}
{\displaystyle k\in \{m\in \mathbb {Z} ^{+};1\leq m\leq 5\}}
任意の固定された に対して 、 であれ ば は 等径であり、 または
k
∈
{
m
∈
Z
+
;
1
≤
m
≤
4
}
{\displaystyle k\in \{m\in \mathbb {Z} ^{+};1\leq m\leq 4\}}
a
k
≤
|
A
|
2
≤
a
k
+
1
{\displaystyle a_{k}\leq {\left\vert A\right\vert }^{2}\leq a_{k+1}}
M
{\displaystyle M}
|
A
|
2
≡
a
k
{\displaystyle {\left\vert A\right\vert }^{2}\equiv a_{k}}
|
A
|
2
≡
a
k
+
1
{\displaystyle {\left\vert A\right\vert }^{2}\equiv a_{k+1}}
の場合 、 は 等径であり、
|
A
|
2
≥
a
5
{\displaystyle {\left\vert A\right\vert }^{2}\geq a_{5}}
M
{\displaystyle M}
|
A
|
2
≡
a
5
{\displaystyle {\left\vert A\right\vert }^{2}\equiv a_{5}}
Chern の特別な部分として、いわゆる第 1 および第 2 のピンチング問題に注意を払う必要があります。
Lu と Bryant の推測の他に、次のような推測もあります。
1983 年、Chia-Kuei Peng と Chuu-Lian Terng は Chern に関連する問題を提唱しました。
を における 次元の閉じた極小超曲面 とします 。 のみに依存する 正の定数が存在し 、 で あれば 、つまり は クリフォード トーラス の 1 つとなるでしょうか ?
M
{\displaystyle M}
n
{\displaystyle n}
S
n
+
1
,
n
≥
6
{\displaystyle S^{n+1},n\geq 6}
δ
(
n
)
{\displaystyle \delta (n)}
n
{\displaystyle n}
n
≤
n
+
δ
(
n
)
{\displaystyle n\leq n+\delta (n)}
S
≡
n
{\displaystyle S\equiv n}
M
{\displaystyle M}
S
k
(
k
n
)
×
S
n
−
k
(
n
−
k
n
)
,
k
=
1
,
2
,
…
,
n
−
1
{\displaystyle S^{k}\left({\sqrt {\frac {k}{n}}}\right)\times S^{n-k}\left({\sqrt {\frac {n-k}{n}}}\right),k=1,2,\ldots ,n-1}
2017 年に、Li Lei、Hongwei Xu、Zhiyuan Xu は 2 つのチャーン関連の問題を提案しました。
1つ目は、 第一固有値に関するヤウの予想 に触発されたものです。
を次元のコンパクトな極小超曲面 と します 。 を 上の関数に作用する ラプラス作用素 の 最初の 固有値 で表します。
M
{\displaystyle M}
n
{\displaystyle n}
S
n
+
1
{\displaystyle \mathbb {S} ^{n+1}}
λ
1
(
M
)
{\displaystyle \lambda _{1}(M)}
M
{\displaystyle M}
が一定のスカラー曲率を持つ 場合、 であることを証明することは可能ですか ?
M
{\displaystyle M}
λ
1
(
M
)
=
n
{\displaystyle \lambda _{1}(M)=n}
を設定します。 、 、または に対して である場合、 である ことを証明することは可能ですか ?
a
k
=
(
k
−
sgn
(
5
−
k
)
)
n
{\displaystyle a_{k}=(k-\operatorname {sgn} (5-k))n}
a
k
≤
S
≤
a
k
+
1
{\displaystyle a_{k}\leq S\leq a_{k+1}}
k
∈
{
m
∈
Z
+
;
2
≤
m
≤
4
}
{\displaystyle k\in \{m\in \mathbb {Z} ^{+};2\leq m\leq 4\}}
S
≥
a
5
{\displaystyle S\geq a_{5}}
λ
1
(
M
)
=
n
{\displaystyle \lambda _{1}(M)=n}
2つ目は、平均曲率が一定である超曲面に対する、 彼ら独自の一般化されたチャーンの予想である 。
を単位球面上の 平均曲率が一定である閉じた超曲面とし ます 。
M
{\displaystyle M}
H
{\displaystyle H}
S
n
+
1
{\displaystyle \mathbb {S} ^{n+1}}
、および である と 仮定します。 または 、および が における等径超曲面である ことを証明することは可能ですか ?
a
≤
S
≤
b
{\displaystyle a\leq S\leq b}
a
<
b
{\displaystyle a<b}
[
a
,
b
]
∩
I
=
{
a
,
b
}
{\displaystyle \left[a,b\right]\cap I=\left\lbrace a,b\right\rbrace }
S
≡
a
{\displaystyle S\equiv a}
S
≡
b
{\displaystyle S\equiv b}
M
{\displaystyle M}
S
n
+
1
{\displaystyle \mathbb {S} ^{n+1}}
（ ）であると仮定します。 、および が における等径超曲面である ことを示すことができますか ？
S
≤
c
{\displaystyle S\leq c}
c
=
sup
t
∈
I
t
{\displaystyle c=\sup _{t\in I}{t}}
S
≡
c
{\displaystyle S\equiv c}
M
{\displaystyle M}
S
n
+
1
{\displaystyle \mathbb {S} ^{n+1}}
参考文献
SS チャーン、「リーマン多様体内の極小部分多様体」( 1968 年に 謄写版印刷 )、数学部技術レポート 19 (新シリーズ)、 カンザス大学 、1968 年 SS Chern、最小部分多様体に関する簡単な調査、Differentialgeometrie im Großen、第 4 巻 (1971)、 Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach 、pp. 43–60 SS Chern、M. do Carmo、S. Kobayashi、「定数長の第 2 基本形式を持つ球面の極小部分多様体」、関数解析と関連分野: シカゴ大学 で開催された マーシャル ストーン 教授記念会議議事録、1968 年 5 月 (1970 年)、 Springer-Verlag 、pp. 59-75 ST ヤウ「微分幾何学セミナー」（数学研究年報、第 102 巻）、 プリンストン大学出版局 （1982 年）、669 ～ 706 ページ、問題 105 L. Verstraelen、「極小部分多様体の断面曲率」、微分幾何学ワークショップ論文集 (1986)、 サウサンプトン大学 、pp. 48–62 M. Scherfner および S. Weiß、球面におけるアイソパラメトリック超曲面のチャーン予想の証明に向けて、Süddeutsches Kolloquium über Differentialgeometrie、第 33 巻 (2008)、Institut für Diskrete Mathematik und Geometrie、 ウィーン工科大学 、pp. 1–13 Z. Lu、「正規スカラー曲率予想とその応用」、Journal of Functional Analysis、第261巻（2011年）、pp. 1284–1308 Lu, Zhiqin (2011). 「正規スカラー曲率予想とその応用」. Journal of Functional Analysis . 261 (5): 1284–1308. arXiv : 0803.0502v3 . doi :10.1016/j.jfa.2011.05.002. S2CID 17541544. CK Peng、CL Terng、「一定のスカラー曲率を持つ球面の極小超曲面」、Annals of Mathematics Studies、第 103 巻 (1983)、pp. 177–198 Lei, Li; Xu, Hongwei; Xu, Zhiyuan (2017). 「球面内の極小超曲面に関するChernの予想について」. arXiv : 1712.01175 [math.DG]. 
![{\displaystyle \left[a,b\right]\cap I=\left\lbrace a,b\right\rbrace }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11c8eb61fbcc4bbb0b34fa2d733863da8189c144)
