チェンの固有値比較定理

リーマン幾何学において、チェンの固有値比較定理は、一般的に、領域が大きい場合、そのラプラス・ベルトラミ作用素の第一ディリクレ固有値は小さいと述べています。この一般的な特徴付けは、領域の「サイズ」の概念がその曲率も考慮する必要があるため、正確ではありません。^[1] この定理は、チェン (1975b) によるもので、シュウ・ユエン・チェンによって提唱されました。測地線球を使用すると、特定の管状領域に一般化できます (Lee 1990)。

M をn次元のリーマン多様体とし、B _M ( p ,  r ) をpを中心とし、半径rがp  ∈  Mの単射半径より小さい測地球とします。各実数kに対して、N ( k ) は次元nおよび定数断面曲率kの単連結空間形式を表します。チェンの固有値比較定理は、適切なkの値について、 B _M ( p ,  r ) におけるディリクレ問題の最初の固有値 λ ₁ ( B _M ( p ,  r )) とB _{N ( k )} ( r )における最初の固有値を比較します。定理には 2 つの部分があります。

• Mの断面曲率K _{M が}次式を満たすと仮定する。

${\displaystyle K_{M}\leq k.}$

それから

${\displaystyle \lambda _{1}\left(B_{N(k)}(r)\right)\leq \lambda _{1}\left(B_{M}(p,r)\right).}$

2番目の部分は、 Mのリッチ曲率の比較定理です。

• Mのリッチ曲率が任意のベクトル場Xに対して以下を満たすと仮定する。

${\displaystyle \operatorname {Ric} (X,X)\geq k(n-1)|X|^{2}.}$

そして、上記と同じ表記で、

${\displaystyle \lambda _{1}\left(B_{N(k)}(r)\right)\geq \lambda _{1}\left(B_{M}(p,r)\right).}$

SY ChengはBartaの定理を用いて固有値比較定理を導出した。特別な場合として、k  = −1かつinj( p ) = ∞のとき、Chengの不等式はλ ^* ( N ) ≥  λ ^* ( Hn (−1))^となり、これはMcKeanの不等式である。^[2] 

• 比較定理
• 固有値比較定理

• ベッサ、GP; モンテネグロ、JF (2008)、「チェンの固有値比較定理について」、ケンブリッジ哲学協会数学紀要、144 (3): 673–682、doi :10.1017/s0305004107000965、ISSN  0305-0041。
• シャベル、アイザック (1984)、「リーマン幾何学における固有値」、純粋応用数学、第 115 巻、アカデミック プレス。
• チェン、シウ・ユエン(1975a)、「ラプラシアンの固有関数と固有値」、微分幾何学 (Proc. Sympos. Pure Math.、Vol. XXVII、スタンフォード大学、スタンフォード、カリフォルニア、1973)、第 2 部、プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学会、pp. 185–193、MR  0378003
• チェン、シウ・ユエン（1975b）、「固有値比較定理とその幾何学的応用」、Math. Z.、143：289–297、doi：10.1007/BF01214381。
• Lee, Jeffrey M. (1990)、「管状領域の固有値比較」、アメリカ数学会紀要、109 (3)、アメリカ数学会: 843–848、doi : 10.2307/2048228、JSTOR  2048228。
• マッキーン、ヘンリー（1970）「負の曲率を持つ多様体上の△のスペクトルの上限」微分幾何学ジャーナル、4：359-366。
• Lee, Jeffrey M.; Richardson, Ken (1998)、「リーマン葉相と固有値の比較」、Ann. Global Anal. Geom.、16 : 497–525、doi :10.1023/A:1006573301591/