確率制約プログラミング

確率制約プログラミング（CCP）は、不確実性の下で問題を扱うために使用される数学的最適化手法です。これは、1959 年にCharnesとCooperによって初めて導入され、1965 年に Miller と Wagner によってさらに発展しました。^{[ 1 ] [ 2 ]} CCP は、金融、工学、オペレーションズ リサーチなどさまざまな分野で広く使用されており、特定の制約を特定の確率で満たす必要がある意思決定プロセスを最適化するために使用されます。

確率制約プログラミングとは、最適化問題における不確実性を扱うために確率と信頼水準を用いる手法である。これは、単一の確率制約と複合的な確率制約を区別する。

• 単一確率制約：これらの制約は、個々の制約が一定の確率で満たされることを保証します。
• 同時確率制約：これらの制約は、すべての制約が一定の確率で同時に満たされることを保証します。^{[ 3 ]}

一般的な確率制約付き最適化問題は、次のように定式化できる。

${\displaystyle \min f(x,u,\xi ){\text{st }}g(x,u,\xi )=0,\Pr\{h(x,u,\xi )\geq 0\}\geq \alpha }$

ここ、${\displaystyle f}$は目的関数です。${\displaystyle g}$等式制約を表す。${\displaystyle h}$不等式制約を表す。${\displaystyle x}$状態変数を表す。${\displaystyle u}$は制御変数を表し、${\displaystyle \xi }$は不確実なパラメータを表し、${\displaystyle \alpha }$は信頼水準です。

CCPにおける一般的な目的関数は、コスト関数の期待値を最小化することであり、場合によってはコスト関数の分散を最小化することと組み合わされる。^{[ 3 ]}

CCP問題を解決するために、確率的最適化問題はしばしば同等の決定論的問題に緩和されます。問題の性質に応じて、さまざまなアプローチがあります。

• 線形CCP ：線形システムの場合、実行可能領域は通常凸領域であり、線形計画法を用いて問題を解くことができます。
• 非線形CCP：非線形システムの場合、主な課題は確率とその勾配を計算することにあります。これらの問題には、非線形計画法ソルバーが必要となることがよくあります。
• 動的システム：動的システムには時間依存の不確実性が伴い、解法は時間経過に伴う不確実性の伝播を考慮する必要がある。^{[ 3 ]}

確率制約プログラミングは、工学分野では不確実性下でのプロセス最適化や生産計画に、金融分野ではポートフォリオ選択に用いられています。 ^{[ 3 ]}再生可能エネルギーの統合^{[ 4 ]} 、 UAVの飛行軌道の生成[ ^{5 ] 、ロボットによる宇宙探査[ 6 ]にも}応用されています。