チェザロ総括

数学的解析において、チェザロ和（チェザロ平均^{[1] [2]}またはチェザロ極限^[3]とも呼ばれる）は、通常の意味では必ずしも収束しないいくつかの無限和に値を割り当てます。チェザロ和は、nが無限大に近づくにつれて、級数の最初のn個の部分和の算術平均のシーケンスの極限として定義されます。

行列総和法のこの特殊なケースは、イタリアの分析家エルネスト・チェザロ(1859–1906) にちなんで名付けられました。

チェザロ和に関するいくつかの記述や証明はアイレンベルク・マズール詐欺に関係していると言えるため、和という用語は誤解を招く可能性がある。例えば、この用語はグランディ級数に適用され、その級数の和は1/2 である と結論付けられることが多い。

を数列とし、 ${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty}}$

${\displaystyle s_{k}=a_{1}+\cdots +a_{k}=\sum _{n=1}^{k}a_{n}}$

をそのk番目の部分和とする。

数列( a _n )は、 n が無限大に近づくにつれて、最初のn個の部分和s ₁、s ₂、 ...、s _nの算術平均がAに近づくとき、チェザロ和A ∈ を持つチェザロ和可能と呼ばれます。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}s_{k}=A.}$

結果として得られる極限の値は、その級数のチェザロ和と呼ばれます。 この級数が収束する場合、それはチェザロ和可能であり、そのチェザロ和は通常の和になります。 ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}.}$

n ≥ 0に対してa _n = (−1) ⁿと する。つまり、${\displaystyle (a_{n})_{n=0}^{\infty}}$

${\displaystyle (1,-1,1,-1,\ldots ).}$

Gを次の数列と する

${\displaystyle G=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}=1-1+1-1+1-\cdots }$

G級数はグランディ級数として知られています。

Gの部分和の列を表すとします。 ${\displaystyle (s_{k})_{k=0}^{\infty }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}s_{k}&=\sum _{n=0}^{k}a_{n}\\(s_{k})&=(1,0,1,0,\ldots ).\end{aligned}}}$

この部分和の列は収束しないので、級数Gは発散します。ただし、G はチェザロ和可能です。最初のn個の部分和 の算術平均の列を とします。${\displaystyle (t_{n})_{n=1}^{\infty }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}t_{n}&={\frac {1}{n}}\sum _{k=0}^{n-1}s_{k}\\(t_{n})&=\left({\frac {1}{1}},{\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},{\frac {2}{4}},{\frac {3}{5}},{\frac {3}{6}},{\frac {4}{7}},{\frac {4}{8}},\ldots \right).\end{aligned}}}$

それから

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }t_{n}=1/2,}$

したがって、級数Gのチェザロ和は1/2です。

別の例 として、n ≥ 1に対してn = n_とします。つまり、${\displaystyle (a_{n})_{n=1}^{\infty }}$

${\displaystyle (1,2,3,4,\ldots ).}$

Gを次の数列と します

${\displaystyle G=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=1+2+3+4+\cdots }$

すると部分和の列は ${\displaystyle (s_{k})_{k=1}^{\infty }}$

${\displaystyle (1,3,6,10,\ldots ).}$

部分和の列は無限に大きくなるので、級数Gは無限に発散する。Gの部分和の平均の 列( t _n )は

${\displaystyle \left({\frac {1}{1}},{\frac {4}{2}},{\frac {10}{3}},{\frac {20}{4}},\ldots \right).}$

この数列も無限大に発散するため、Gはチェザロ和算可能ではありません。実際、(正または負の)無限大に発散する数列の級数については、チェザロ法でも同様にも発散する数列の級数が得られるため、そのような級数はチェザロ和算可能ではありません。

1890 年、エルネスト・チェザロは、非負整数αに対して(C, α )と呼ばれるより広範な加算法のファミリーを発表しました。(C, 0)法は通常の加算法にすぎず、(C, 1)法は上記のチェザロ加算法です。

高階法は次のように記述できる。級数Σanが与えられたとき、以下_の量を定義する。

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{n}^{-1}&=a_{n}\\A_{n}^{\alpha }&=\sum _{k=0}^{n}A_{k}^{\alpha -1}\end{aligned}}}$

（上の添え字は指数を表していない）そしてEを定義する^αn
_​Aになる^αn
_​1 + 0 + 0 + 0 + ...の級数に対して、Σ a _nの(C, α )和は(C, α )-Σ a _nと表され、その値は

${\displaystyle (\mathrm {C} ,\alpha ){\text{-}}\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}=\lim _{n\to \infty }{\frac {A_{n}^{\alpha }}{E_{n}^{\alpha }}}}$

存在する場合（Shawyer & Watson 1994、pp.16-17）。この記述は、初期和法のα回反復適用を表し、次のように言い換えることができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}(\mathrm {C} ,\alpha ){\text{-}}\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}&=\lim _{n\to \infty }\sum _{j=0}^{n}{\frac {\binom {n}{j}}{\binom {n+\alpha }{j}}}a_{j}\\&=\lim _{n\to \infty }\sum _{j=0}^{n}{\frac {\left(n-j+1\right)_{\alpha }}{\left(n+1\right)_{\alpha }}}a_{j}{\text{.}}\end{aligned}}}$

さらに一般的には、α ∈ \ ⁻${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$に対して、A^αn
_​級数の係数によって暗黙的に与えられる

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }A_{n}^{\alpha }x^{n}={\frac {\displaystyle {\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}}{(1-x)^{1+\alpha }}},}$

およびE^αn
_​上記の通り。特に、E^αn
_​は、 −1 − αの二項係数です。Σ a _nの(C, α )和は上記のように定義されます。

Σ a _{n に}(C, α ) の和がある場合、すべてのβ > αに対して(C, β )の和も存在し、和は一致します。さらに、α > −1の場合、a _n = o ( n ^α )が成立します(小さなo表記を参照)。

α ≥ 0とする。積分 は(C, α )が加算可能であるのは、 ${\displaystyle \textstyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx}$

${\displaystyle \lim _{\lambda \to \infty }\int _{0}^{\lambda }\left(1-{\frac {x}{\lambda }}\right)^{\alpha }f(x)\,dx}$

が存在し、有限である (Titchmarsh 1948, §1.15)。この極限の値は、もし存在するならば、積分の(C, α )和である。級数の和の場合と同様に、α = 0の場合、結果は不定積分の収束である。 α = 1の場合、(C, 1)収束は極限の存在と同等である。

${\displaystyle \lim _{\lambda \to \infty }{\frac {1}{\lambda }}\int _{0}^{\lambda }\int _{0}^{x}f(y)\,dy\,dx}$

これは部分積分の平均の極限です。

級数の場合と同様に、積分がα ≥ 0のある値に対して(C, α )加算可能であれば、すべてのβ > αに対しても(C, β )加算可能であり、結果として得られる極限の値は同じです。

• ショーヤー、ブルース、ワトソン、ブルース（1994）、ボレルの要約法：理論と応用、オックスフォード大学出版局、ISBN 0-19-853585-6
• ティッチマーシュ、EC（1948）、フーリエ積分理論入門（第2版）、ニューヨーク、ニューヨーク：チェルシー出版1986年にISBN 978-0-8284-0324-5で再版。 
• Volkov, II (2001) [1994]、「チェザロ和法」、数学百科事典、EMS Press
• ジグムンド、アントニ（1988）[1968]、三角関数シリーズ（第2版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-35885-9