ケイリーのΩプロセス

数学において、アーサー・ケイリー（1846年）によって導入されたケイリーのΩプロセスは、一般線形群上の相対的に不変な微分作用素であり、群作用の不変量を構成するために使用されます。 

n ^{2 個}の変数x _ijの関数に作用する偏微分演算子として、オメガ演算子は行列式によって与えられる。

${\displaystyle \Omega ={\begin{vmatrix}{\frac {\partial }{\partial x_{11}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial }{\partial x_{n1}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{nn}}}\end{vmatrix}}.}$

x ₁、y ₁のバイナリ形式fとx ₂、y ₂のgに対して、Ω 演算子は次のようになります。${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}fg}{\partial x_{1}\partial y_{2}}}-{\frac {\partial ^{2}fg}{\partial x_{2}\partial y_{1}}}}$変数xとyの2 つの形式fとgに対するr重 Ω プロセス Ω ^r ( f , g )は次のようになります。

1. fをx1、y1_の形式に、gをx2 _、y2_の形式に変換する_。
2. 関数fgにΩ 演算子をr回適用します。つまり、これら 4 つの変数でfにgを掛けます。
3. 結果にx ₁とx ₂をxに、y ₁とy _2をyに代入します。

2 つの形式fとgに対するr重 Ω プロセス Ω ^r ( f , g )の結果は、 r番目のトランスベクタートとも呼ばれ、一般に ( f , g ) ^rと表記されます。

ケイリーのΩ過程はカペリの恒等式に現れ、 ワイル（1946）はこれを用いて自然多項式環に作用する様々な古典群の不変量の生成子を見つけた。

ヒルベルト（1890）は、一般線形群の不変環の有限生成の証明において、ケイリーのΩ過程を用いた。彼がΩ過程を用いることで、特殊線形群のレイノルズ作用素の明示的な公式が得られた。

ケイリーのΩプロセスは、トランスベクタートを定義するために使用されます。

• ケイリー、アーサー（1846）「線形変換について」、ケンブリッジ・ダブリン数学ジャーナル、1：104–122ケイリー（1889）著『数学論文集』第1巻、ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局、95～ 112ページに再録。  
• David Hilbert (1890)、「Ueber die Theorie der algebraischen Formen」、Mathematische Annalen、36 (4): 473–534、doi : 10.1007/BF01208503、ISSN 0025-5831、S2CID 179177713  
• Howe, Roger (1989)、「古典的不変式論に関する考察」、Transactions of the American Mathematical Society、313 (2)、American Mathematical Society: 539–570、doi : 10.1090/S0002-9947-1989-0986027-X、ISSN 0002-9947、JSTOR 2001418、MR 0986027   
• Olver, Peter J. (1999), 『古典的不変式理論』、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-55821-1
• Sturmfels、Bernd (1993)、不変理論のアルゴリズム、記号計算におけるテキストとモノグラフ、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-211-82445-0MR 1255980​ 
• ワイル、ヘルマン（1946）『古典群：その不変量と表現』プリンストン大学出版局、ISBN 978-0-691-05756-9MR 0000255、2007年3月26日取得 {{citation}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）