カスケード積分器-コムフィルタ

デジタル信号処理において、カスケード積分器コム (CIC)は、計算効率の高いローパス 有限インパルス応答(FIR)フィルタの一種で、N 個の積分器とコムフィルタのペア (N はフィルタの次数) を連結してデシメータまたはインターポレータを形成します。デシメーション CIC では、入力信号は最初に N 個の積分器ステージ、次にダウンサンプラ、そして N 個のコムステージに送られます。インターポレーション CIC (図 1 など) は、このアーキテクチャの逆の順序ですが、ダウンサンプラがゼロスタッフィング (アップサンプラ) に置き換えられています。^{[1] [2]}

CICフィルタは、1979年にユージン・B・ホーゲナウアーによって発明され^{[3] （1981年に発表）、}マルチレートデジタル信号処理で使用されるFIRフィルタの一種です。

ほとんどのFIRフィルタとは異なり、構造の中央にダウンサンプラーまたはアップサンプラーがあり、積分段で使用される高サンプリングレートとコーム段で使用される低サンプリングレートを変換します。 ^[1]${\displaystyle f_{s}}$${\displaystyle {\tfrac {f_{s}}{R}}}$

の高いサンプリングレートでは、 CIC のz 領域における伝達関数は次のようになります。 ${\displaystyle f_{s}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}H(z)&=\left[\sum _{k=0}^{RM-1}z^{-k}\right]^{N}\\&=\left({\frac {1-z^{-RM}}{1-z^{-1}}}\right)^{N}\end{aligned}}}$

どこ：

${\displaystyle R}$デシメーションまたは補間比率です。

${\displaystyle M}$ステージあたりのサンプル数（通常は1だが2の場合もある）であり、

${\displaystyle N}$順序は、コム積分器のペアの数です。

• 分子は、負のフィードフォワード コームステージを乗算することで得られます (それぞれは、z 領域で単純に乗算されます)。${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 1-z^{-RM}}$
• 分母は積分器のステージを乗算することで得られます(それぞれはz 領域での単純な乗算です)。${\displaystyle N}$${\displaystyle {\tfrac {1}{1-z^{\text{-1}}}}}$

積分器コムフィルタは、除算を省略した単純な1次移動平均FIRフィルタの効率的な実装です。[^注1 ]^これを確認するには、最新のサンプルを前の結果に追加し、最も古いサンプルを減算することで、単純な移動平均フィルタを再帰的に実装する方法を検討してください。${\displaystyle RM}$${\displaystyle x[n]}$${\displaystyle y[n-1]}$${\displaystyle x[n-RM]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}y[n]&=\sum _{k=0}^{RM-1}x[nk]\\y[n]&=y[n-1]+\underbrace {x[n]-x[n-RM]} _{{\text{コムフィルタ}}c[n]}.\end{aligned}}}$

2番目の等式は、積分される( )コムフィルタ( ${\displaystyle c[n]=x[n]-x[n-RM]}$)に対応します。${\displaystyle y[n]=y[n-1]+c[n]}$

高次の CIC 構造は、同一の単純移動平均フィルタをカスケード接続し、セクションを並べ替えてすべての積分器を最初 (デシメータ) に配置するか、コームを最初 (インターポレータ) に配置することで得られます。このような並べ替えは、コーム、積分器、および構造全体が線形時間不変 (LTI) システムであるため可能です。 ${\displaystyle N}$

補間 CIC では、アップサンプラー (通常は補間フィルターの前) がノーブル恒等式を使用してコーム セクションを通過し、必要な遅延要素の数が 1/1 に削減されます。同様に、デシメーション CIC では、ダウンサンプラー (通常はデシメーション フィルターの後) がコーム セクションの前に移動します。 ${\displaystyle R}$

CIC フィルターには魅力的な機能がいくつかあります。

• 線形位相応答（つまり、一定のグループ遅延）。
• 遅延、加算、減算のみを利用します。
  • 高価な乗算はありません。
• 移動平均との等価性によるビット増加。 [ ^4]${\displaystyle N\log_{2}(RM)}$
• デシメーション比を変えても、フィルタのメインローブの形状はほとんど変化しない。^[5]

z 領域では、各積分器はDC ( ) に 1 つの極と原点 ( ) に 1 つの零点を提供します。各櫛は原点に極を提供し、 z 領域の単位円の周りに等間隔で零点を提供しますが、DCでの最初の零点は各積分器の極と相殺されます。N^{次の CIC フィルタには、1次の}フィルタと同じ場所に N 倍の極と零点があります。 ${\displaystyle z{=}1}$${\displaystyle z{=}0}$${\displaystyle RM}$${\displaystyle RM}$

したがって、1^次CIC の周波数応答は、粗いローパス フィルタです。通常、ゲインは で割って正規化されるため、DC は 1 ゲインのピークを持ちます。メイン ローブは次のゼロに達すると低下し、その後に、ピークがだんだん小さくなり、後続のゼロで区切られた一連のローブが続きます。これは、概ね周波数同期に近似します。 ${\displaystyle (RM)^{N}}$${\displaystyle R}$

N^次CIC の形状は、その sinc 形状を N 回乗算したものに相当し、結果として減衰が連続的に大きくなります。したがって、N^次CIC フィルターは sinc ^Nフィルターと呼ばれます。最初のサイドローブは、約 13N dB 減衰されます。

CIC フィルタの応答範囲は、この形状によって制限されます。次数を増やすと、ストップバンドの除去量を増やすことができますが、通過帯域の減衰量が増加し、積分器とコーム セクションのビット幅を増やす必要があります。このため、現実世界のフィルタリング要件の多くは、CIC フィルタだけでは満たせません。

短～中程度の長さのFIRまたは無限インパルス応答（IIR）フィルタは、CICフィルタの形状の下降傾斜を補正することができます。^[5]複数の補間およびデシメーション率では、デシメーション比が変更されてもCICのメインローブの形状はほとんど変化しないため、同じ補正FIR係数セットを再利用できます。^{[5]図11（b）}

• CIC フィルタは主にマルチレート処理で使用されます。一方、FIR フィルタは一般に幅広いアプリケーションで使用され、インターポレータやデシメータと組み合わせてマルチレート処理に使用できます。
• CICフィルタはローパス周波数特性を持ちますが^[1]、FIRフィルタはローパス、ハイパス、またはバンドパス周波数特性を持つことができます。
• CICフィルターは加算と減算のみを使用します。^[1] FIRフィルターは加算と減算を使用しますが、ほとんどのFIRフィルターでは乗算も必要です。
• CICフィルタは特定の周波数ロールオフを持ちますが^[1]、ローパスFIRフィルタは任意の急峻な周波数ロールオフを持つことができます。
• CICフィルタは一般的に一般的なFIRフィルタよりもはるかに経済的ですが^[1]、トレードオフが伴います。
  • 少量の補間または間引きのみが必要な場合、一般的に FIR フィルタが有利です。ただし、レートが 10 倍以上変化する場合は、有効な FIR フィルタ アンチエイリアシング ストップ バンドを実現するには、多くの FIR タップが必要になります。
  • 大きなレート変化の場合、CICはアーキテクチャと計算効率の点でFIRフィルタよりも大きな利点があります。^[1]
  • さらに、CIC フィルターは通常、積分器とコーム セクションのビット幅が最大可能レート変更に基づく特定の数学的基準を満たしていると仮定すると、デシメーション/補間セクションのみを変更するだけで、異なるレートに再構成できます。
• CICフィルタは固定小数点演算のみを使用しますが、FIRフィルタは固定小数点演算または浮動小数点演算を使用できます。^[1]
  • これは、再帰的に実装された FIR フィルタとして、CIC フィルタが積分器セクションの極を櫛形セクションのゼロで正確にキャンセルすることに依存しているために必要です。理由は直感的ではありませんが、CIC アーキテクチャの固有の特性として、積分器で固定ビット長のオーバーフローが発生した場合、櫛形セクションで修正されます。^[1]

• デシメーション
• デルタシグマ変調- デシメーションに CIC を使用する可能性のある ADC 技術

• CICフィルターの紹介
• カスケード積分器-コムフィルタの理解
• 移動平均と CIC フィルターの直感的な見方
• カスケード積分器コム（CIC）フィルタ – DSP の階段