Loading article…
幾何学において、ブラフマグプタの定理は、円に内接する四角形が直交対角線を持つ場合（つまり、対角線が互いに垂直である場合）、対角線の交点から辺に下ろした垂線は必ず反対側の辺を二等分するというものである。[ 1 ]この定理は、インドの数学者ブラフマグプタ（598-668）にちなんで名付けられた。[ 2 ]
より具体的には、円周上の4点A、B、C、Dにおいて、直線ACとBDが垂直であるとします。ACとBDの交点をMとします。Mから直線BCに垂線を下ろし、その交点をEとします。直線EMと辺ADの交点をFとします。すると、定理によれば、FはADの中点となります。
AF = FDであることを証明する必要があります。AFとFD はどちらもFMと等しいことを証明します。
AF = FMを証明するには、まず、∠ FAMと∠ CBMは円周角であり、同じ円弧( CD ) を挟んでいるため等しいことに注目します。さらに、∠ CBMと∠ CMEはどちらも∠ BCMの補角(つまり、合計が 90°) であるため、等しくなります。最後に、∠ CMEと∠ FMAは同じです。したがって、△ AFMは二等辺三角形であり、辺AFとFM は等しくなります。
FD = FMの証明も同様です。∠ FDM、∠ BCM、∠ BME、∠ DMFの角度はすべて等しいので、△ DFMは二等辺三角形であり、したがってFD = FMとなります。定理が主張するように、AF = FDが成り立ちます。