ブラフマグプタの補間式

ブラフマグプタの補間公式は、インドの数学者で天文学者のブラフマグプタ（598-668年）が7世紀初頭に開発した2次多項式補間公式である。この公式を説明するサンスクリット語の連句は、665年に完成したブラフマグプタの著作『カンダカディヤカ』の補足部分に記載されている。 ^[1]同じ連句は、ブラフマグプタの以前の著作『ディヤーナ・グラハ・アディカラ』にも登場し、おそらく「7世紀の第2四半期の初め頃、あるいはそれより前」に書かれたものと思われる。^[1]ブラフマグプタは、 2次差分を使用した補間公式を最初に説明し使用した人物の1人である。^{[2] [3]}

ブラフマグプタの補間公式は、現代の2次ニュートン・スターリング補間公式と同等です。

ブラフマグプタ以前の数学者は単純な線形補間式を使用していました。f ( a )を計算する線形補間式は

${\displaystyle f(a)=f_{r}+tD_{r}}$どこ。${\displaystyle t={\frac {a-x_{r}}{h}}}$

f ( a )の計算では、BrahmaguptaはD _rを 、より正確な値を与え、2次補間式を使用する別の式に置き換えます。

ブラフマグプタの用語では、差D _{r は}過去の差または越えられた差を意味するgatakhandaであり、差D _{r +1}はこれから来る差であるbhogyakhandaである。Vikalaは、補間したい時点での間隔がカバーされた分数である。現在の表記では、a − x _{rである。f r +1} − f _rに代わる新しい表現は、 sphuta-bhogyakhandaと呼ばれる。sphuta -bhogyakhandaの説明は、次のサンスクリット語連句 ( Dhyana-Graha-Upadesa-Adhyaya、17; Khandaka Khadyaka、IX、8 ) に含まれている: ^[1]

^{[説明が必要（テキストが必要） ]}

これはバットルパラ（紀元10世紀）の注釈を使って次のように翻訳されている：^{[1] [4]}

ガタカンダとボギャカンダの差の半分をビカラに掛け、その積を 900 で割ります。その結果をガタカンダとボギャカンダの合計の半分に加算します。その半分の合計がボギャカンダより小さい場合は加算し、大きい場合は減算します。(いずれの場合も、結果は正しい表の差であるスプッタ-ボギャカンダです。)

この式は、もともと、基礎となる基本表の共通間隔が 900 分または 15 度である正弦関数の値を計算するために述べられました。したがって、900 への参照は、実際には共通間隔hへの参照です。

ブラフマグプタのshutabhogyakhandaの計算方法は、現代の記法で次のように定式化できます。

スプタ・ボギャカンダ ${\displaystyle \displaystyle ={\frac {D_{r}+D_{r-1}}{2}}\pm t{\frac {|D_{r}-D_{r-1}|}{2}}.}$

±記号は、⁠1/2⁠ ( D _r + D _{r +1} )はD _{r +1}より小さいか大きいか、あるいはD _r < D _{r +1}かD _r > D _{r +1}かによって決まります。Brahmagupta の式は次の形式になります。

スプタ・ボギャカンダ ${\displaystyle \displaystyle ={\frac {D_{r}+D_{r-1}}{2}}+t{\frac {D_{r}-D_{r-1}}{2}}.}$

この補正係数により、 f ( a )のおおよその値は次のように表されます。

${\displaystyle {\begin{aligned}f(a)&=f_{r}+t\times {\text{sphuta-bhogyakhanda}}\\&=f_{r}+t{\frac {D_{r}+D_{r-1}}{2}}+t^{2}{\frac {D_{r}-D_{r-1}}{2}}.\end{aligned}}}$

これは2次差分で切り捨てられたスターリングの補間式です。 ^{[5] [6]}ブラフマグプタがどのようにして補間式にたどり着いたかはわかっていません。^[1]ブラフマグプタは独立変数の値が等間隔でない場合のために別の式を与えています。

• ブラフマグプタの正体
• ブラフマグプタマトリックス
• ブラフマグプタ・フィボナッチ恒等式