ボレル分布

ボレル分布

パラメータ	${\displaystyle \mu \in [0,1]}$
サポート	${\displaystyle n\in \{1,2,3,\ldots \}}$
ＰＭＦ	${\displaystyle {\frac {e^{-\mu n}(\mu n)^{n-1}}{n!}}}$
平均	${\displaystyle {\frac {1}{1-\mu }}}$
分散	${\displaystyle {\frac {\mu }{(1-\mu )^{3}}}}$

ボレル分布は、分岐過程や待ち行列理論などの文脈で生じる離散確率分布であり、フランスの数学者エミール・ボレルにちなんで名付けられました。

生物が持つ子孫の数がポアソン分布に従う場合、また各生物の子孫の平均数が 1 以下である場合、各個体の子孫は最終的に絶滅します。その状況で個体が最終的に持つ子孫の数は、ボレル分布に従って分布するランダム変数です。

離散確率変数 Xは、  Xの確率質量関数が次式で与えられる とき、 パラメータμ∈  [0,1]のボレル分布^{[1] [2]}に従うという。

${\displaystyle P_{\mu }(n)=\Pr(X=n)={\frac {e^{-\mu n}(\mu n)^{n-1}}{n!}}}$

n  = 1, 2, 3 .... の場合

ゴルトン・ワトソン分岐過程が平均μの共通子孫分布ポアソン分布を持つ場合、分岐過程の個体の総数はパラメータ μのボレル分布に従います。

Xを ガルトン・ワトソン分岐過程の個体の総数とする。すると、分岐過程の総サイズと関連するランダムウォークの到達時間との間の対応は次式で表される ^{[3] [4] [5]。}

${\displaystyle \Pr(X=n)={\frac {1}{n}}\Pr(S_{n}=n-1)}$

ここで、S _n  =  Y ₁  + … +  Y _n、およびY ₁  …  Y _nは、共通の分布が分岐プロセスの子孫分布である独立した同一分布のランダム変数です。この共通分布が平均μのポアソン分布である場合、ランダム変数 S _{n は}平均μnのポアソン分布を持ち、上記のボレル分布の質量関数につながります。

分岐過程のm世代目の平均サイズはμ ^{m  − 1}なので、 X の平均は

${\displaystyle 1+\mu +\mu ^{2}+\cdots ={\frac {1}{1-\mu }}.}$

到着率μと共通サービス時間1のM/D/1キューでは、キューの典型的なビジー期間の分布はパラメータμのボレル分布となる。 ^[6]

P _μ ( n ) がボレル( μ ) 確率変数の確率質量関数である場合、質量関数 P^∗
_μ分布からのサイズバイアスのあるサンプル（すなわち、nP _μ ( n ) に比例する質量関数）の（n ）は次のように与えられる。

${\displaystyle P_{\mu }^{*}(n)=(1-\mu ){\frac {e^{-\mu n}(\mu n)^{n-1}}{(n- 1)!}}.}$

オルダスとピットマン ^[7] は、

${\displaystyle P_{\mu }(n)={\frac {1}{\mu }}\int _{0}^{\mu }P_{\lambda }^{*}(n)\,d\ラムダ。}$

言葉で言えば、Borel( μ ) ランダム変数は、サイズバイアスのある Borel( μU ) ランダム変数と同じ分布を持ち、ここでU は[0,1] 上の均一分布を持つということです。

この関係から、次のような様々な有用な式が導き出されます。

${\displaystyle \operatorname {E} \left({\frac {1}{X}}\right)=1-{\frac {\mu }{2}}.}$

ボレル・タナー分布はボレル分布を一般化したものです。kを正の整数とします。X ₁、  X ₂、…  X _kが独立で、それぞれがパラメータμ のボレル分布に従う場合、それらの和 W  =  X ₁  +  X ₂  + … +  X _kは、パラメータμとkのボレル・タナー分布に従うと言われます。 ^{[2] [6] [8]これは、第 1 世代で}k個 の個体から始まるポアソン・ゴルトン・ワトソン過程における個体の総数の分布、またはk個のジョブがある状態からM /D/1 キューが空になるまでの時間の分布を与えます。k = 1 の場合は、 上記のボレル分布に単純に相当します。

上記のランダムウォーク対応をk  = 1に対して一般化すると、^{[4] [5]}

${\displaystyle \Pr(W=n)={\frac {k}{n}}\Pr(S_{n}=nk)}$

ここでS _{n は}平均nμのポアソン分布に従う。その結果、確率質量関数は次のように与えられる。

${\displaystyle \Pr(W=n)={\frac {k}{n}}{\frac {e^{-\mu n}(\mu n)^{nk}}{(nk)!}} }$

n  =  k ,  k + 1, ...の場合 。

• Mathematica におけるボレル-タナー分布。