4 螺旋半群

数学において、 四螺旋半群は、4つのべき等元によって生成される特別な半群である。この特別な半群は、1977年にネブラスカ大学に提出された博士論文でカール・バイリーンによって初めて研究された。 ^{[1] [2]}この半群には、いくつかの興味深い特性がある。双単純だが完全に単純ではない半群の最も重要な例の1つである。^{[3]また、基本的な}正則半群の重要な例でもある。^[2]双単純でべき等に生成される正則半群の不可欠な構成要素である。^{[2] 5つのべき等元によって生成される}二重四螺旋半群と呼ばれる特定の半群も、四螺旋半群とともに研究されてきた。^{[4] [2]}

Sp ₄で表される4元螺旋半群は、 次の11の条件を満たす4つの要素 a、b、c、dによって生成される自由半群である。 ^[2]

• a ² = a、b ² = b、c ² = c、d ² = d。
• ab = b、ba = a、bc = b、cb = c、cd = d、dc = c。
• da = d です。

最初の条件セットは、要素a、b、c、dが冪等であることを意味します。 2 番目の条件セットは、a R b L c R d であることを意味します。ここで、RとL は半群におけるグリーン関係です。 3 番目のセットの唯一の条件は、 d ω ^l aと記述できます。ここで、 ω ^lはNambooripadによって定義された双順序関係 です。 次の図は、 a、b、c、d間のさまざまな関係をまとめたものです。

${\displaystyle {\begin{matrix}&&{\mathcal {R}}&&\\&a&\longleftrightarrow &b&\\\omega ^{l}&{\Big \uparrow }&&{\Big \updownarrow }&{\mathcal {L}}\\&d&\longleftrightarrow &c&\\&&{\mathcal {R}}&&\end{matrix}}}$

Sp4の各要素は、_次のいずれかの形式で一意に表すことができます。^[2]

[ c ] ( ac ) ^m [a]

[ d ] ( bd ) ⁿ [ b ]

[ c ] ( ac ) ^mad ( bd ) ⁿ [ b ]

ここで、mとnは非負の整数であり、角括弧内の項は残りの積が空でない限り省略できる。これらの要素の形は、Sp _4が分割 Sp ₄ = A ∪ B ∪ C ∪ D ∪ Eを持つことを意味し、ここで

A = { a ( ca ) ⁿ , ( bd ) ^{n +1} , a ( ca ) ^m d ( bd ) ⁿ  : m , n の非負整数 }

B = { ( ac ) ^{n +1} , b ( db ) ⁿ , a ( ca ) ^m ( db ) ^{n +1}  : m , n非負の整数 }

C = { c ( ac ) ^m , ( db ) ^{n +1} , ( ca ) ^{m +1} ( db ) ^{n +1}  : m , n の非負整数 }

D = { d ( bd ) ⁿ , ( ca ) ^{m +1} ( db ) ^{n +1} d  : m , n非負の整数 }

E = { ( ca ) ^m  : m正の整数 }

集合A、B、C、Dは二巡回半群であり、E は無限巡回半群であり、部分半群D ∪ E は非正則半群である。

Sp ₄のべき等集合^[5] は{ a _n , b _n , c _n , d _n  : n = 0, 1, 2, ...}であり、a ₀ = a、b ₀ = b、c ₀ = c、d ₀ = dであり、 n = 0, 1, 2, ....に対して、

a _{n +1} = a ( ca ) ⁿ ( db ) ⁿ d

b _{n +1} = a ( ca ) ⁿ ( db ) ^{n +1}

c _{n +1} = ( ca ) ^{n +1} ( db ) ^{n +1}

d _{n +1} = ( ca ) ^{n +1} ( db ) ^{n +l} d

部分半群A、B、C、D （部分半群Eには冪等性はない）の集合はそれぞれ次のとおりである。

E _A = { a _n  : n = 0,1,2, ... }

E _B = { b _n  : n = 0,1,2, ... }

E _C = { c _n  : n = 0,1,2, ... }

E _D = { d _n  : n = 0,1,2, ... }

S をすべての四重項 ( r , x , y , s )の集合とする。ここでr , s , ∈ { 0, 1 } であり、xとy は非負の整数であり、 Sにおける二項演算を次のように 定義する。

${\displaystyle (r,x,y,s)*(t,z,w,u)={\begin{cases}(r,x-y+\max(y,z+1),\max(y-1,z)-z+w,u)&{\text{if }}s=0,t=1\\(r,x-y+\max(y,z),\max(y,z)-z+w,u)&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

この操作を伴う集合S は、二環式半群上のリース行列半群であり、四螺旋半群Sp _{4 は}Sと同型である。^[2]

• 定義自体により、 4 次元螺旋半群は冪等生成半群です( Sp ₄は 4 つの冪等数a、b、c、dによって生成されます)。
• 4 次元螺旋半群は基本半群です。つまり、Sp ₄のグリーン関係Hに含まれるSp ₄上の唯一の合同は等式関係です。

DSp ₄で表される 基本二重四螺旋半群は、次の条件を満たす5つの要素a、b、c、d、eによって生成される半群である: ^{[2] [4]}

• a ² = a、b ² = b、c ² = c、d ² = d、e ² = e
• ab = b、ba = a、bc = b、cb = c、cd = d、dc = c、de = d、ed = e
• ae = e、ea = e

最初の条件セットは、要素a、b、c、d、eがべき等であることを意味します。 2 番目の条件セットは、これらのべき等性間のグリーン関係、つまりa R b L c R d L e を規定します。 3 番目のセットの 2 つの条件は、e ω aを意味します。ここで、 ω は、 ω = ω ^l ∩ ω ^{rとして定義される}双順序関係です。