ベーテの公式

ベーテの公式またはベーテ・ブロッホの公式は、高速荷電粒子（陽子、アルファ粒子、原子イオン）が物質を通過する際の移動距離あたりの平均エネルギー損失（または物質の阻止能）を表します。 ^{[1]電子の場合、質量が小さい（相対論的補正が必要）ことと}区別がつかないことからエネルギー損失は若干異なり、制動放射線による損失がはるかに大きいため、これを考慮する項を追加する必要があります。物質中を移動する高速荷電粒子は、物質内の原子の電子と相互作用します。この相互作用により原子が励起またはイオン化され、移動する粒子のエネルギー損失につながります。

非相対論的バージョンは1930年にハンス・ベーテによって発見され、相対論的バージョン（下図）は1932年に彼によって発見されました。 ^[2]最も可能性の高いエネルギー損失は平均エネルギー損失とは異なり、ランダウ・バビロフ分布によって記述されます。^[3]

速度v、電荷z (電子電荷の倍数)、エネルギーEを持つ粒子が距離x を移動して、電子 数密度 n、平均励起エネルギーI (下記参照)の標的に向かう場合、相対論的バージョンの式は SI 単位で次のように表される: ^[2]

ここで、cは光速、ε _{0 は}真空の誘電率、eおよびm e_はそれぞれ電子の電荷と静止質量です。 ${\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}}}$

ここで、物質の電子密度は次のように計算できる。

${\displaystyle n={\frac {N_{A}\cdot Z\cdot \rho }{A\cdot M_{u}}}\,,}$

ここで、ρは物質の密度、Zは原子番号、Aは相対原子質量、N _{A は}アボガドロ数、M _{u は}モル質量定数です。

右の図では、小さな円はさまざまな著者の測定から得られた実験結果であり、赤い曲線はベーテの公式です。^[4]明らかに、ベーテの理論は高エネルギーでの実験と非常によく一致しています。補正を適用すると、一致はさらに良くなります（以下を参照）。

低エネルギー、すなわち粒子の速度が小さい場合（β << 1）、ベーテの公式は次のように簡約される。

これは、まず式(1)でβcをvに置き換え、次にβ2^をその小ささのために 無視することで確認できます。

したがって、低エネルギーでは、ベーテの公式によるエネルギー損失は、エネルギーの増加とともにv ^{−2にほぼ比例して減少します。これは、およそ}E = 3 Mc ²で最小値に達します。ここで、M は粒子の質量です (陽子の場合、これは約 3000 MeV になります)。相対論的なケースβ ≈ 1 の場合、エネルギー損失は、電場の横方向成分により、再び対数的に増加します。

ベーテ理論では、物質は平均励起エネルギーIという単一の数値で完全に記述される。1933年にフェリックス・ブロッホは、原子の平均励起エネルギーは近似的に次のように与えられることを示した。

ここで、Zは物質の原子の原子番号である。この近似を上記式（1 ）に導入すると、ベテ・ブロッホの式と呼ばれる表現が得られる。しかし、現在ではIをZの関数として表す正確な表が存在するため（下記参照）、そのような表を使用すると、式（ 3 ）を使用するよりも良い結果が得られる。

この図は、表から取ったIの正規化された値を示しています。 ^[5]この図の山と谷は、阻止能の対応する谷とピークにつながります。これらは「Z ₂振動」または「Z ₂構造」と呼ばれます（ここで、Z ₂ = Zはターゲットの原子番号を意味します）。

ベーテの式は、荷電原子粒子 (イオン)が原子電子を運ばないほど十分に高いエネルギーに対してのみ有効です。より低いエネルギーでは、イオンが電子を運ぶと、その電荷が実質的に減少し、阻止能が低下します。ただし、原子が完全にイオン化されている場合でも、補正が必要です。

ベーテは量子力学摂動 論を用いてこの式を発見した。したがって、彼の結果は粒子の電荷zの二乗に比例する。 zのより高いべき乗に対応する補正を考慮することで、説明を改善できる。これらは、バルカス・アンダーセン効果( Walter H. BarkasとHans Henrik Andersenにちなんでz ³に比例) とフェリックス・ブロッホ補正( z ⁴に比例) である。さらに、通過する物質の原子電子は静止していない (「殻補正」) ことも考慮する必要がある。

前述の補正は、例えばPSTARやASTARといったプログラムに組み込まれており、これらを使って陽子やアルファ粒子の阻止能を計算することができます。^[6]補正は低エネルギーでは大きく、エネルギーが増加するにつれて小さくなっていきます。

非常に高いエネルギーでは、フェルミの密度補正^[5]を加える必要がある。

• 阻止能（粒子放射線）
• ランダウ分布
• ハンス・ベーテ

• ストラッグリング関数。荷電粒子のエネルギー損失分布
• 初出出版物: Zur Theorie des Durchgangs Schneller Korpuskularstrahlen durch Materie in "Annalen der Physik", Vol. 397 (1930) 325 -400
• 荷電粒子が物質を通過する様子をグラフで示す
• 陽子とアルファ粒子の阻止能
• 阻止力グラフとデータ
• 最近の数値解