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ベテの公式またはベテ・ブロッホの公式は、物質を通過する高速荷電粒子（陽子、アルファ粒子、原子イオン）の移動距離あたりの平均エネルギー損失（または代替的に物質の阻止能）を記述します。 [ 1 ]電子の場合、質量が小さい（相対論的補正が必要）ことと区別できないことからエネルギー損失はわずかに異なり、制動放射によってはるかに大きな損失を受けるため、これを考慮する項を追加する必要があります。物質を通過する高速荷電粒子は、物質中の原子の電子と相互作用します。この相互作用により原子が励起またはイオン化され、移動する粒子のエネルギー損失につながります。
非相対論的バージョンは1930年にハンス・ベーテによって発見され、相対論的バージョン（下記参照）は1932年に彼によって発見された。 [ 2 ]最も可能性の高いエネルギー損失は平均エネルギー損失とは異なり、ランダウ・バビロフ分布によって記述される。[ 3 ]
速度v、電荷z (電子電荷の倍数)、エネルギーEを持つ粒子が、距離x だけ電子数密度nと平均励起エネルギーI (下記参照)のターゲットに向かって移動する場合、相対論的バージョンの式は SI 単位で次のように表されます。[ 2 ]
ここで、 cは光速、ε₀は真空の誘電率である。eとmはそれぞれ電子の電荷と静止質量である。
ここで、材料の電子密度は次のように計算できます。
ここで、 ρは物質の密度、Zはその原子番号、Aはその相対原子質量、NAはアボガドロ数、 M uはモル質量定数である。
右の図では、小さな円はさまざまな著者の測定から得られた実験結果であり、赤い曲線はベテの公式です。[ 4 ]明らかに、ベテの理論は高エネルギーでの実験と非常によく一致しています。補正を適用すると、一致はさらに良くなります（下記参照）。
低エネルギー、すなわち粒子の速度が小さい場合（β << 1）、ベテの公式は次のように簡略化される。
これは、まず式(1)のβcをvに置き換え、次にβ2が小さいので無視することで確認できます。
低エネルギーでは、ベテの公式によれば、エネルギー損失はエネルギーの増加とともにほぼv −2に比例して減少します。これは、 E = 3 Mc 2付近で最小値に達します。ここで、Mは粒子の質量です (陽子の場合、これは約 3000 MeV になります)。非常に相対論的な場合β ≈ 1 では、電場の横方向成分により、エネルギー損失は再び対数的に増加します。
ベーテ理論では、物質は平均励起エネルギーIという単一の数値によって完全に記述される。1933年、フェリックス・ブロッホは原子の平均励起エネルギーが近似的に次式で表されることを示した。
ここで、Zは材料の原子の原子番号です。この近似を上記の式 ( 1 ) に導入すると、ベテ・ブロッホの式と呼ばれる式が得られます。しかし、 Zの関数としてのIの正確な表 (下記参照) があるので、そのような表を使用すると、式 ( 3 )を使用するよりも良い結果が得られます。
図は、表から取得したIの正規化値を示しています。 [ 5 ]この図のピークと谷は、阻止能の対応する谷とピークにつながります。これらは「Z 2振動」または「Z 2構造」と呼ばれます ( Z 2 = Zはターゲットの原子番号を意味します)。
ベーテの公式は、荷電原子粒子（イオン）が原子電子を一切伴わないほど十分に高いエネルギーの場合にのみ有効です。エネルギーが低い場合、イオンが電子を伴っているため、実質的に電荷が減少し、阻止能が低下します。しかし、原子が完全にイオン化されている場合でも、補正が必要です。
ベーテは量子力学的摂動理論を用いて自身の公式を見出した。したがって、彼の結果は粒子の電荷zの二乗に比例する。この記述は、 zの高次のべき乗に対応する補正を考慮することで改善できる。これらは、バルカス・アンデルセン効果（ウォルター・H・バルカスとハンス・ヘンリック・アンデルセンにちなんでz 3に比例）とブロッホ補正（ z 4に比例）である。さらに、通過する物質の原子電子は静止していない（殻補正）ことを考慮に入れなければならない。
前述の補正は、例えば陽子やアルファ粒子の阻止能を計算できるプログラムPSTARやASTARに組み込まれています。[ 6 ]補正は低エネルギーでは大きく、エネルギーが増加するにつれて小さくなります。
