単調関数に関するベルンシュタインの定理

実解析という数学の一分野において、セルゲイ・ベルンシュタインにちなんで名付けられたベルンシュタインの定理は、半直線[ 0, ∞)上の完全単調な実数値関数はすべて指数関数の混合関数である、あるいはより抽象的に言えば、[ 0, ∞)上の正のボレル測度のラプラス変換である、と述べている。重要な特殊なケースの一つとして、混合関数は加重平均、すなわち期待値となる。これはベルンシュタイン・ウィダーの定理、あるいはハウス​​ドルフ・ベルンシュタイン・ウィダーの定理とも呼ばれる。

この結果は、1928 年に Bernstein によって最初に証明され^{[ 1 ]}、同様の結果は1931 年にDavid Widderによって議論されました^{[ 2 ]。}彼は Bernstein に言及していますが、「著者は、Bernstein の論文の発表から数か月後に、その存在を知らずにこの定理の証明を完了した」と述べています。最も引用されている文献は、Widder による 1941 年の書籍「The Laplace Transform」です^{[ 3 ] [ 4 ]} 。後に、 Boris Korenblumによってより簡単な証明が与えられました^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}。ほぼ同時期に、Gustave Choquet は半群上の単調関数のより一般的な概念を研究し、 Krein–Milman の定理に基づいてより抽象的な証明を与えました^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}。Felix Hausdorff は、それ以前に完全単調列を特徴付けていました。これらはハウスドルフモーメント問題で発生する数列です。

関数fの完全単調性とは、 fが[ 0, ∞)で連続であり、(0, ∞)で無限回微分可能であり、かつ以下の条件を満たすことを意味します。$${\displaystyle (-1)^{n}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(t)\geq 0}$$すべての非負整数nおよびすべてのt > 0に対して。

「加重平均」の記述は次のように特徴づけられる：累積分布関数gを持つ[ 0, ∞)上の非負の有限ボレル測度が存在し、$${\displaystyle f(t)=\int _{0}^{\infty }e^{-tx}\,dg(x),}$$この積分はリーマン・スティルチェス積分である。

導関数が完全に単調である非負関数は、ベルンシュタイン関数と呼ばれる。^{[ 11 ]} すべてのベルンシュタイン関数は、レヴィ・ヒンチン表現を持つ。$${\displaystyle f(t)=a+bt+\int _{0}^{\infty }\left(1-e^{-tx}\right)\mu (dx),}$$どこ${\displaystyle a,b\geq 0}$そして${\displaystyle \mu }$は正の実数半直線上の測度であり、$$\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left(1\wedge x\right)\mu (dx)<\infty .}$$

シェーンベルク・ウィリアムソン定理（多重単調関数に関するシェーンベルクの定理、ウィリアムソンの表現定理とも呼ばれる）は、ベルンシュタインの定理の有限位数版である。k-単調関数（またはk回単調関数）は、$${\displaystyle (-1)^{n}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(t)\geq 0\quad {\text{for}}\,\,\,0\leq n\leq k}$$シェーンベルク・ウィリアムソン定理によれば、f が(0, ∞)上で k-単調であるのは、次の場合に限る。$${\displaystyle f(t)=\int _{0}^{\infty }(xt)_{+}^{k-1}\,d\mu (x)}$$何らかの肯定的な措置${\displaystyle \mu }$(0, ∞)上。

証明は1956年にウィリアムソンによって発表された^{[ 13 ]}が、彼の論文では「この公式は1940年にシェーンベルクによって発見されたが、未発表のままだった」と述べている。

テイラー級数を用いて${\displaystyle f}$整数剰余を用いると、より正確な式を与えることができる^{[ 14 ]。}$${\displaystyle f(t)=\int _{0}^{\infty }\left(1-{\frac {tx}{n}}\right)_{+}^{n-1}f_{n}(x)\,dx}$$と$${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}\left({\frac {n}{x}}\right)^{n+1}f^{(n)}\left({\frac {n}{x}}\right)I(x>0)}$$どこ${\displaystyle f^{(n)}(t)={\frac {d^{n}}{dt^{n}}}f(t)}$そして${\displaystyle I(x>0)}$は、$\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{*}}$。

では、${\displaystyle f}$は完全に単調であるため、すべての k-単調である。${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$そしてポスト・ウィダー逆変換式は次のように述べている。${\displaystyle f_{n}}$分布は収束し、${\displaystyle \mu }$そして${\displaystyle \left(1-{\frac {tx}{n}}\right)_{+}^{n-1}}$収束して${\displaystyle e^{-tx}}$として${\displaystyle n}$無限大に近づくと、ベルンシュタインの定理が再現される。^{[ 14 ]}

• 絶対的に単調な関数と数列
• ショケの定理
• クライン＝ミルマンの定理