ベルンシュタインの定理（多項式）

数学において、ベルンシュタインの定理は、単位円上の複素多項式関数の最大絶対値と単位円上のその導関数の最大絶対値を関連付ける不等式である。この定理は、セルゲイ・ベルンシュタインが近似理論の研究中に証明された。^[1]

上の任意の関数の最大絶対値を、その導関数を とすると、次数の任意の多項式に対して次式が成り立ちます 。${\displaystyle \max _{|z|=1}|f(z)|}$${\displaystyle f(z)}$${\displaystyle |z|=1}$${\displaystyle f'(z)}$${\displaystyle P(z)}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \max _{|z|=1}|P'(z)|\leq n\max _{|z|=1}|P(z)|}$。

不平等は改善できず、平等は の場合にのみ成立する。^[2]${\displaystyle P(z)=\alpha z^{n}}$

数学的解析において、ベルンシュタインの不等式は、複素平面上の半径1の円板内で、多項式の次数と多項式の最大値の積が、その導関数の相似最大値の上限となることを述べています。この定理をk回適用すると、次の式が得られます 。

${\displaystyle \max _{|z|\leq 1}|P^{(k)}(z)|\leq {\frac {n!}{(nk)!}}\cdot \max _{|z |\leq 1}|P(z)|.}$

ポール・エルデシュは 、に零点がない場合、 であると予想した。これはピーター・ラックスによって証明された。^[3]${\displaystyle P(z)}$${\displaystyle |z|<1}$${\displaystyle \max _{|z|=1}|P'(z)|\leq {\frac {n}{2}}\max _{|z|=1}|P(z)|}$

MAマリクは、与えられたに対してに零点がない場合、となることを示した。^[4]${\displaystyle P(z)}$${\displaystyle |z|<k}$${\displaystyle k\geq 1}$${\displaystyle \max _{|z|=1}|P'(z)|\leq {\frac {n}{1+k}}\max _{|z|=1}|P(z)| }$

• マルコフ兄弟の不等式
• レメス不平等

• Frappier, Clément (2004)。「多項式の 3 次導関数に対する Bernstein の不等式に関する注記」(PDF)。J . Inequal. Pure Appl. Math . 5 (1)。論文番号7。ISSN  1443-5756。Zbl 1060.30003  。
• Natanson, IP (1964)。構成的関数理論。第 1 巻: 一様近似。Alexis N. Obolensky 訳。ニューヨーク: Frederick Ungar。MR  0196340。Zbl 0133.31101  。
• Rahman, QI; Schmeisser, G. (2002).多項式の解析理論. ロンドン数学会モノグラフ. 新シリーズ. 第26巻. オックスフォード:オックスフォード大学出版局. ISBN 0-19-853493-0.ZBL1072.30006  。​