レメズの不等式

数学において、ソ連の数学者エフゲニー・ヤコブレヴィチ・レメズ（レメズ 1936 ）によって発見されたレメズの不等式は、特定の多項式のsupノルムの上限を与え、その上限はチェビシェフ多項式によって達成される。

σ を任意の固定された正の数とする。次数nの多項式 p のクラス π _n ( σ ) を、次の条件を満たす多項式pと定義する。

${\displaystyle |p(x)|\leq 1}$

閉区間[−1, 1+ σ ]に含まれる測度≥ 2 のある集合上で、レメズの不等式は次のようになる。 

$$\displaystyle \sup _{p\in \pi _{n}(\sigma )}\left\|p\right\|_{\infty }=\left\|T_{n}\right\|_{\infty }}$$

ここで、T _n ( x ) は次数nのチェビシェフ多項式であり、上限ノルムは区間 [−1, 1+ σ ] で取られます。 

T _nは増加していることに注意してください${\displaystyle [1,+\infty ]}$したがって

${\displaystyle \|T_{n}\|_{\infty }=T_{n}(1+\sigma ).}$

Ri とチェビシェフ多項式の推定値を組み合わせると、次の系が導かれる。J ⊂ R が有限区間であり、E ⊂ J が任意の可測集合である場合、    

次数nの任意の多項式pに対して。

( ⁎ )と同様の不等式は、さまざまなクラスの関数に対して証明されており、レメズ型不等式として知られています。重要な例の 1 つは、指数和に関するナザロフの不等式です( Nazarov 1993 ) :

ナザロフの不等式。

${\displaystyle p(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}e^{\lambda _{k}x}}$

は指数和（λk ∈ Cは任意）とし、J ⊂ R_を有限区間、E ⊂ Jを任意の可測集合とする。すると      

${\displaystyle \max _{x\in J}|p(x)|\leq e^{\max _{k}|\Re \lambda _{k}|\,\operatorname {mes} J}\left({\frac {C\,\,\operatorname {mes} J}{\operatorname {mes} E}}\right)^{n-1}\sup _{x\in E}|p(x)|~,}$

ここで、C > 0 は数値定数である。

λk_が純虚数かつ整数であり、部分集合Eがそれ自体区間である場合の特殊なケースでは、この不等式はパール・トゥランによって証明され、トゥランの補題として知られています。

この不平等は、${\displaystyle L^{p}(\mathbb {T} ),\ 0\leq p\leq 2}$次のように

${\displaystyle \|p\|_{L^{p}(\mathbb {T} )}\leq e^{A(n-1)\operatorname {mes} (\mathbb {T} \setminus E)}\|p\|_{L^{p}(E)}}$

p、E、nとは無関係な、あるA > 0に対して。

${\displaystyle \operatorname {mes} E<1-{\frac {\log n}{n}}}$

p > 2の場合も同様の不等式が成り立つ。p = ∞ の場合は、多次元多項式への拡張が可能である。

証明:ナザロフの補題を適用する${\displaystyle E=E_{\lambda }=\{x:|p(x)|\leq \lambda \},\ \lambda >0}$につながる

$\displaystyle \max _{x\in J}|p(x)|\leq e^{\max _{k}|\Re \lambda _{k}|\,\operatorname {mes} J}\left({\frac {C\,\,\operatorname {mes} J}{\operatorname {mes} E_{\lambda }}}\right)^{n-1}\sup _{x\in E_{\lambda }}|p(x)|\leq e^{\max _{k}|\Re \lambda _{k}|\,\operatorname {mes} J}\left({\frac {C\,\,\operatorname {mes} J}{\operatorname {mes} E_{\lambda }}}\right)^{n-1}\lambda }$

したがって

$\displaystyle \operatorname {mes} E_{\lambda }\leq C\,\,\operatorname {mes} J\left({\frac {\lambda e^{\max _{k}|\Re \lambda _{k}|\,\operatorname {mes} J}}{\max _{x\in J}|p(x)|}}\right)^{\frac {1}{n-1}}}$

さあ、セットを固定しよう${\displaystyle E}$そして選択する${\displaystyle \lambda }$そのため${\displaystyle \operatorname {mes} E_{\lambda }\leq {\tfrac {1}{2}}\operatorname {mes} E}$つまり

${\displaystyle \lambda =\left({\frac {\operatorname {mes} E}{2C\operatorname {mes} J}}\right)^{n-1}e^{-\max _{k}|\Re \lambda _{k}|\,\operatorname {mes} J}\max _{x\in J}|p(x)|}$

これは以下のことを意味することに注意してください。

1. ${\displaystyle \operatorname {mes} E\setminus E_{\lambda }\geq {\tfrac {1}{2}}\operatorname {mes} E.}$
2. ${\displaystyle \forall x\in E\setminus E_{\lambda }:|p(x)|>\lambda .}$

今

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x\in E}|p(x)|^{p}\,{\mbox{d}}x&\geq \int _{x\in E\setminus E_{\lambda }}|p(x)|^{p}\,{\mbox{d}}x\\[6pt]&\geq \lambda ^{p}{\frac {1}{2}}\operatorname {mes} E\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\operatorname {mes} E\left({\frac {\operatorname {mes} E}{2C\operatorname {mes} J}}\right)^{p(n-1)}e^{-p\max _{k}|\Re \lambda _{k}|\,\operatorname {mes} J}\max _{x\in J}|p(x)|^{p}\\[6pt]&\geq {\frac {1}{2}}{\frac {\operatorname {mes} E}{\operatorname {mes} J}}\left({\frac {\operatorname {mes} E}{2C\operatorname {mes} J}}\right)^{p(n-1)}e^{-p\max _{k}|\Re \lambda _{k}|\,\operatorname {mes} J}\int _{x\in J}|p(x)|^{p}\,{\mbox{d}}x,\end{aligned}}}$

これで証明が完了する。

レメズの不等式の系の一つに、ジョージ・ポリアによって証明されたポリアの不等式（ポリア 1928 ）があり、次数nの多項式pのサブレベル集合のルベーグ測度は、主係数LC( p )に関して次のように制限されると述べています。

${\displaystyle \operatorname {mes} \left\{x\in \mathbb {R}$ \left|P(x)\right|\leq a\right\}\leq 4\left({\frac {a}{2\mathrm {LC} (p)}}\right)^{1/n},\quad a>0~.}

• EJレメス（1936年）。 「チェビシェフのポリノームの所有権を守れ」。通信研究所科学。ハルクウ。13：93～ 95。
• Bojanov, B. (1993 年 5 月). 「レメズの不等式の初等的証明」.アメリカ数学月報. 100 (5). アメリカ数学協会: 483–485 . doi : 10.2307/2324304 . JSTOR 2324304 . 
• Fontes-Merz, N. (2006). "Turanの補題の多次元版" .Journal of Approximation Theory . 140 (1): 27–30 . doi : 10.1016/j.jat.2005.11.012 .
• Nazarov, F. (1993). 「指数多項式の局所的評価と不確定性原理型の不等式への応用」Algebra i Analiz . 5 (4): 3–66 .
• ナザロフ、F. (2000). 「単位円周上の三角多項式に対するトゥランの補題の完全版」.複素解析、作用素、および関連トピック. 第 113巻. pp. 239–246 . doi : 10.1007/978-3-0348-8378-8_20 . ISBN  978-3-0348-9541-5。
• ポーリャ、G. (1928)。 「Beitrag zur Verallgemeinerung des Verzerrungssatzes auf mehrfach zusammenhängende Gebiete」。シツングスベリヒテ・アカド。ベルリン: 280–282。