ベルヌーイの不等式

指数${\displaystyle r}$は、次のように任意の実数に一般化できます。${\displaystyle x>-1}$、 それから

${\displaystyle (1+x)^{r}\geq 1+rx}$

のために${\displaystyle r\leq 0}$または$\displaystyle \geq 1$、 そして

${\displaystyle (1+x)^{r}\leq 1+rx}$

のために${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$。

この一般化は凸性（下記参照）または導関数の比較によって証明できる。これらの不等式の厳密なバージョンは以下を必要とする。${\displaystyle x\neq 0}$そして${\displaystyle r\neq 0,1}$。

ケース${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$また、このケースからも導き出すことができる${\displaystyle r\geq 1}$（主ケースの結果を用いて）$\displaystyle \left(1+{\frac {x}{r}}\right)^{r}\geq 1+x=\left[(1+x)^{\frac {1}{r}}\right]^{r}}$そして、${\displaystyle f(x)=x^{r}}$単調である。したがって、${\displaystyle 1+x/r\geq (1+x)^{\frac {1}{r}}}$のために${\displaystyle r\geq 1}$、 したがって${\displaystyle (1+x)^{l}\leq 1+lx}$のために${\displaystyle 0<l=1/r\leq 1}$残りのケース${\displaystyle l=0}$別途検証されます。

の代わりに${\displaystyle (1+x)^{n}}$この不等式は次の形式でも成り立つ。$\displaystyle (1+x_{1})(1+x_{2})\dots (1+x_{r})\geq 1+x_{1}+x_{2}+\dots +x_{r}}$どこ${\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{r}}$は実数で、すべて以下より大きい。${\displaystyle -1}$すべて同じ符号を持つ。ベルヌーイの不等式は、次のような場合の特別なケースである。${\displaystyle x_{1}=x_{2}=\dots =x_{r}=x}$この一般化された不等式は、数学的帰納法によって証明できる。

以下の定理は、特定の条件下で推定値をより精緻化するための追加項を組み込んだ、ベルヌーイの不等式の強化版を示しています。指数を${\displaystyle r}$を非負整数とし、${\displaystyle x}$実数である${\displaystyle x\geq -2}$ もし${\displaystyle r}$は奇数で1より大きい。

${\displaystyle (1+x)^{r}\geq 1+rx+\lfloor r/2\rfloor x^{2}}$

等号は、${\displaystyle r\in \{0,1,2\}}$または${\displaystyle x\in \{-2,0\}}$[ ^{4 ]​}

初等的な証明${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$そして${\displaystyle x\geq -1}$加重AM-GMを使用して与えることができます。

させて${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}$2 つの非負の実定数とする。重み付き AM-GM により${\displaystyle 1,1+x}$重み付き${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}$それぞれ、

${\displaystyle {\dfrac {\lambda _{1}\cdot 1+\lambda _{2}\cdot (1+x)}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}\geq {\sqrt[{\lambda _{1}+\lambda _{2}}]{(1+x)^{\lambda _{2}}}}.}$

ご了承ください

${\displaystyle {\dfrac {\lambda _{1}\cdot 1+\lambda _{2}\cdot (1+x)}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}={\dfrac {\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{2}x}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}=1+{\dfrac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}x}$

そして

${\displaystyle {\sqrt[{\lambda _{1}+\lambda _{2}}]{(1+x)^{\lambda _{2}}}}=(1+x)^{\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}},}$

したがって、私たちの不等式は以下と同等です。

${\displaystyle 1+{\dfrac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}x\geq (1+x)^{\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}.}$

置換後${\displaystyle r={\dfrac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}+\lambda _{2}}}}$（これは、${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$) 私たちの不平等は

${\displaystyle 1+rx\geq (1+x)^{r}}$

これはベルヌーイの不等式です${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$。

ケース${\displaystyle r\geq 1}$から導き出すことができる${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$ケースと同様に${\displaystyle 0\leq r\leq 1}$から導き出すことができる${\displaystyle r\geq 1}$（上記「指数の一般化」を参照）。

ベルヌーイの不等式

と同等

そして等比級数の公式（y = 1 + xを使用）により、

これは

今もし${\displaystyle x\geq 0}$そして、権力の単調さによって、各命令は${\displaystyle (1+x)^{k}-1=(1+x)^{k}-1^{k}\geq 0}$したがって、それらの合計はより大きい${\displaystyle 0}$したがって、 （4 ）の左辺の積は次のようになります。

もし${\displaystyle 0\geq x\geq -2}$そして、同じ論拠によって、${\displaystyle 1\geq (1+x)^{k}}$したがって、すべての加数${\displaystyle (1+x)^{k}-1}$は非正であり、したがってそれらの和も非正である。2つの非正の数の積は非負であるため、再び（4）が得られる。

二項定理を用いて、x ≥ 0の場合のベルヌーイの不等式を証明できる。r = 0の場合は自明に成り立つので、 r を正の整数と仮定する。すると${\displaystyle (1+x)^{r}=1+rx+{\tbinom {r}{2}}x^{2}+...+{\tbinom {r}{r}}x^{r}.}$明らかに${\displaystyle {\tbinom {r}{2}}x^{2}+...+{\tbinom {r}{r}}x^{r}\geq 0,}$そしてそれゆえに${\displaystyle (1+x)^{r}\geq 1+rx}$必要に応じて。

のために${\displaystyle 0\neq x>-1}$機能${\displaystyle h(\alpha )=(1+x)^{\alpha }}$は厳密に凸である。したがって、${\displaystyle 0<\alpha <1}$保持する${\displaystyle (1+x)^{\alpha }=h(\alpha )=h((1-\alpha )\cdot 0+\alpha \cdot 1)<(1-\alpha )h(0)+\alpha h(1)=1+\alpha x}$そして逆の不等式は以下に対して有効である。${\displaystyle \alpha <0}$そして${\displaystyle \alpha >1}$。

凸性を利用するもう1つの方法は、目的の不等式を次のように書き換えることです。${\displaystyle \log(1+x)\geq {\frac {1}{r}}\log(1+rx)}$実際に${\displaystyle r\geq 1}$そして現実 ${\displaystyle x>-1/r}$この不等式は、${\displaystyle \log }$関数は凹関数であり、イェンセンの不等式を次の形式で使用する。${\displaystyle \log(p\,a+(1-p)b)\geq p\log(a)+(1-p)\log(b)}$与える：${\displaystyle \log(1+x)=\log({\frac {1}{r}}(1+rx)+{\frac {r-1}{r}})\geq {\frac {1}{r}}\log(1+rx)+{\frac {r-1}{r}}\log 1={\frac {1}{r}}\log(1+rx)}$これは望ましい不等式である。