バークソンのパラドックス

バークソンのパラドックス（バークソンのバイアス、コライダーバイアス、内生的選択バイアス^{[ 1 ]} 、またはバークソンの誤謬とも呼ばれる）は、条件付き確率と統計における結果であり、しばしば直感に反するため、真実のパラドックスである。これは、比率の統計的検定で発生する複雑な要因である。具体的には、研究デザインに内在するサンプリングバイアスがある場合に発生する。この効果は、ベイジアンネットワークにおける説明による回避現象、およびグラフィカルモデルにおけるコライダーによる条件付けに関連している。

このパラドックスは、ジョセフ・バークソンによる問題の元の記述のように、医療統計学や生物統計学の分野からのシナリオを使用して説明されることが多い^{[ 2 ]}。

バークソンのパラドックスの最も一般的な例は、 2つの望ましい特性の間に負の相関関係があるという誤った観察です。つまり、ある望ましい特性を持つ人は、もう一方の望ましい特性を欠いている傾向があるという観察です。バークソンのパラドックスは、実際には2つの特性が無関係、あるいは正の相関関係にあるにもかかわらず、この観察が真実であるように見える場合に発生します。これは、両方の特性を欠いている人が均等に観察されないためです。例えば、ある人は自分の経験から、魅力的な有名人は才能がなく、才能のある有名人は魅力的でない傾向があると観察するかもしれません。しかし、特に才能も魅力もない人は有名人にはならないので、観察者の視点には含まれません。

2つの独立した事象は、少なくとも一方の事象が発生することを条件として、条件付き従属関係になる。記号で表すと次のようになる。

もし${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B)}$そして ${\displaystyle P(A\cup B)<1}$それから

${\displaystyle P(A\cap B\mid A\cup B)<P(A\mid A\cup B)P(B\mid A\cup B)}$

証明:${\displaystyle P(A\mid A\cup B)=P(A)/P(A\cup B)}$そして${\displaystyle P(B\mid A\cup B)=P(B)/P(A\cup B)}$ これは、${\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B)}$そして ${\displaystyle P(A\cup B)<1}$（それで${\displaystyle {\frac {1}{P(A\cup B)}}<{\frac {1}{[P(A\cup B)]^{2}}}\ }$) は、

${\displaystyle {\begin{aligned}P(A\cap B\mid A\cup B)={\frac {P(A\cap B)}{P(A\cup B)}}={\frac {P(A)P(B)}{P(A\cup B)}}<{\frac {P(A)P(B)}{[P(A\cup B)]^{2}}}=P(A\mid A\cup B)P(B\mid A\cup B).\end{aligned}}}$

これを表形式で示すと次のようになります。黄色の領域は、少なくとも1つのイベントが発生する結果です（~Aは「Aではない」という意味です）。

例えば、サンプルがある場合${\displaystyle 100}$、そして両方とも${\displaystyle A}$そして${\displaystyle B}$半分の確率で独立して発生する（${\displaystyle P(A)=P(B)=1/2}$) より、次の結果が得られる。

だから${\displaystyle 75}$結果、${\displaystyle A}$または${\displaystyle B}$発生する、${\displaystyle 50}$持っている${\displaystyle A}$発生する。条件付き確率を比較することで${\displaystyle A}$無条件の確率${\displaystyle A}$:

${\displaystyle P(A\mid A\cup B)=50/75=2/3>P(A)=50/100=1/2}$

確率を見ると${\displaystyle A}$より高い（${\displaystyle 2/3}$）結果のサブセットにおいて（${\displaystyle A{\text{ or }}B}$全体人口よりも ）が発生する（${\displaystyle 1/2}$) 一方、${\displaystyle A}$両方を考慮すると${\displaystyle B}$そして （${\displaystyle A{\text{ or }}B}$) は単に無条件の確率です${\displaystyle A}$、${\displaystyle P(A)}$、 以来${\displaystyle A}$独立している${\displaystyle B}$数値例では、最上段にあることを条件としています。

ここで確率は${\displaystyle A}$は${\displaystyle 25/50=1/2}$。

バークソンのパラドックスは、条件付き確率が${\displaystyle A}$与えられた${\displaystyle B}$3 つのセルのサブセット内では、全体の母集団における条件付き確率に等しいが、サブセット内の無条件確率は全体の母集団における無条件確率に比べて膨張しているため、サブセット内では、${\displaystyle B}$条件付き確率を低下させる${\displaystyle A}$（全体的な無条件確率に戻る）：

${\displaystyle P(A\mid B,A\cup B)=P(A\mid B)=P(A)}$

${\displaystyle P(A\mid A\cup B)>P(A)}$

条件付けの効果により${\displaystyle (A\cup B)}$相対的な大きさから派生する${\displaystyle P(A\mid A\cup B)}$そして${\displaystyle P(A)}$特に効果が大きいのは、${\displaystyle A}$まれである（${\displaystyle P(A)\ll 1}$）しかし、非常に強い相関関係がある${\displaystyle B}$（${\displaystyle P(A\mid B)\approx 1}$例えば、Nが非常に大きい場合の以下のケースを考えてみましょう。

条件付けなしの場合${\displaystyle (A\cup B)}$我々は持っています

${\displaystyle P(A)=1/(N+1)}$

${\displaystyle P(A\mid B)=1}$

つまり、AはBが存在しない限りめったに起こらず、Bが存在する場合は必ず起こる。したがって、BはAが発生する可能性を劇的に高めている。

条件付きの場合${\displaystyle (A\cup B)}$我々は持っています

${\displaystyle P(A\mid A\cup B)=1}$

${\displaystyle P(A\mid B,A\cup B)=P(A\mid B)=1}$

これで、 Bが存在するかどうかにかかわらず、 Aは常に発生します。したがって、B はAの尤度に影響を与えません。このように、相関性の高いデータの場合、 BとAの大きな正の相関は、条件付けを行うことで効果的に除去できることがわかります。${\displaystyle (A\cup B)}$。

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