ベニニ分布

ベニニ

パラメータ	${\displaystyle \alpha >0}$ 形状（実際）形状（実際）スケール（実際） ${\displaystyle \beta >0}$ ${\displaystyle \sigma >0}$
サポート	${\displaystyle x>\sigma }$
PDF	${\displaystyle e^{-\alpha \log {\frac {x}{\sigma }}-\beta \left[\log {\frac {x}{\sigma }}\right]^{2}}\left({\frac {\alpha }{x}}+{\frac {2\beta \log {\frac {x}{\sigma }}}{x}}\right)}$
ドイツ連邦共和国	${\displaystyle 1-e^{-\alpha \log {\frac {x}{\sigma }}-\beta [\log {\frac {x}{\sigma }}]^{2}}}$
平均	${\displaystyle \sigma +{\tfrac {\sigma }{\sqrt {2\beta }}}H_{-1}\left({\tfrac {-1+\alpha }{\sqrt {2\beta }}}\right)}$ 「確率論者のエルミート多項式」はどこにあるのか${\displaystyle H_{n}(x)}$
中央値	${\displaystyle \sigma \left(e^{\frac {-\alpha +{\sqrt {\alpha ^{2}+\beta \log {16}}}}{2\beta }}\right)}$
分散	${\displaystyle \left(\sigma ^{2}+{\tfrac {2\sigma ^{2}}{\sqrt {2\beta }}}H_{-1}\left({\tfrac {-2+\alpha }{\sqrt {2\beta }}}\right)\right)-\mu ^{2}}$

確率、統計、経済学、保険数理学において、ベニーニ分布は連続確率分布であり、統計的サイズ分布であり、保険数理アプリケーションにおける収入、請求または損失の重大性、およびその他の経済データをモデル化するためによく適用されます。^{[1] [2]} その裾の挙動はべき乗法則よりも速く減衰しますが、指数ほど速くはありません。この分布は、1905年にロドルフォ・ベニーニによって導入されました。 ^[3]ベニーニの最初の研究から少し後になって、この分布は多くの著者によって独立して発見または議論されました。^[4]

ベニニ分布は、累積分布関数（CDF） を持つ3パラメータ分布です。${\displaystyle \operatorname {ベニーニ} (\alpha ,\beta ,\sigma )}$

${\displaystyle F(x)=1-\exp {\big \{}-\alpha (\log x-\log \sigma )-\beta (\log x-\log \sigma )^{2}{\big \}}=1-\left({\frac {x}{\sigma }}\right)^{-\alpha -\beta \log {\left({\frac {x}{\sigma }}\right)}},}$

ここで、形状パラメータα、β > 0、およびσ > 0はスケールパラメータです。 ${\displaystyle x\geq \sigma }$

簡素性のために、ベニーニ^[3]は2パラメータモデル（α = 0）のみを考慮し、CDF

${\displaystyle F(x)=1-\exp {\big \{}-\beta (\log x-\log \sigma )^{2}{\big \}}=1-\left({\frac {x}{\sigma }}\right)^{-\beta (\log x-\log \sigma )}.}$

2パラメータベニーニモデルの密度は

${\displaystyle f(x)={\frac {2\beta }{x}}\exp \left\{-\beta \left[\log \left({\frac {x}{\sigma }}\right)\right]^{2}\right\}\log \left({\frac {x}{\sigma }}\right),\quad x\geq \sigma >0.}$

2パラメータのベニニ変数は逆確率変換法によって生成できる。2パラメータモデルの場合、分位関数（逆CDF）は

${\displaystyle F^{-1}(u)=\sigma \exp {\sqrt {-{\frac {1}{\beta }}\log(1-u)}},\quad 0<u<1.}$

• ならば、Xはパレート分布に従う。${\displaystyle X\sim \operatorname {ベニーニ} (\alpha ,0,\sigma )}$${\displaystyle x_{\text{m}}=\sigma .}$
• ならば、ここ で ${\displaystyle X\sim \operatorname {Benini} (0,{\tfrac {1}{2\sigma ^{2}}},1)}$${\displaystyle X\sim e^{U}}$${\displaystyle U\sim \operatorname {レイリー} (\sigma ).}$

2パラメータベニーニ分布密度、確率分布、分位関数、乱数ジェネレーターはRのVGAMパッケージに実装されており、形状パラメータの最大尤度推定も提供します。^[5]

• 条件付き確率分布
• 結合確率分布
• 準確率分布
• 経験的確率分布
• ヒストグラム
• リーマン・スティルチェス積分の確率論への応用

• Wolfram Mathematica の Benini 分布 (定義と PDF のプロット)