アトキンソン・スティグリッツの定理

カテゴリー2に属する人々がより有能であると仮定する。すると、政府が目指すパレート効率的な課税には2つの条件が課される。1つ目の条件は、カテゴリー1の効用が所定のレベル以上であることである。

${\displaystyle {\overline {U}}_{1}\leq V_{1}(C_{1},Y_{1})\quad .}$

2つ目の条件は、政府の歳入が${\displaystyle R}$これは、収益要件と同等かそれ以上である。${\displaystyle {\overline {R}}}$、は指定された量だけ増加します。

${\displaystyle R=-(C_{1}-Y_{1})N_{1}-(C_{2}-Y_{2})N_{2}\;,}$

${\displaystyle {\overline {R}}\leq R\;,}$

どこ${\displaystyle N_{1}}$そして${\displaystyle N_{2}}$各タイプの個体数を示します。このような条件下では、政府は効用を最大化する必要があります。${\displaystyle V_{2}(C_{2},Y_{2})}$カテゴリー2の場合。次に、この問題に対するラグランジュ関数を書き出します。

${\displaystyle {\mathcal {L}}=V_{2}(C_{2},Y_{2})+\mu V_{1}(C_{1},Y_{1})+\lambda _{2}(V_{2}(C_{2},Y_{2})-V_{2}(C_{1},Y_{1}))+\lambda _{1}(V_{1}(C_{1},Y_{1})-V_{1}(C_{2},Y_{2}))+\gamma \left(-(C_{1}-Y_{1})N_{1}-(C_{2}-Y_{2})N_{2}-{\overline {R}}\right)\;,}$

自己選択制約を満たすための一次条件は以下のとおりである。

${\displaystyle \mu {\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{1}}}-\lambda _{2}{\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{1}}}+\lambda _{1}{\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{1}}}-\gamma N_{1}=0\;,}$

${\displaystyle \mu {\frac {\partial V_{1}}{\partial Y_{1}}}-\lambda _{2}{\frac {\partial V_{2}}{\partial Y_{1}}}+\lambda _{1}{\frac {\partial V_{1}}{\partial Y_{1}}}+\gamma N_{1}=0\;,}$

${\displaystyle {\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{2}}}+\lambda _{2}{\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{2}}}-\lambda _{1}{\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{2}}}-\gamma N_{2}=0\;,}$

${\displaystyle {\frac {\partial V_{2}}{\partial Y_{2}}}+\lambda _{2}{\frac {\partial V_{2}}{\partial Y_{2}}}-\lambda _{1}{\frac {\partial V_{1}}{\partial Y_{2}}}+\gamma N_{2}=0\;.}$

の場合${\displaystyle \lambda _{1}=0}$そして${\displaystyle \lambda _{2}=0}$:

${\displaystyle {\frac {\partial V_{i}/\partial Y_{i}}{\partial V_{i}/\partial C_{i}}}+1=0\;,}$

のために${\displaystyle i=1,2}$したがって、政府は一括課税を実現できる。${\displaystyle \lambda _{1}=0}$そして${\displaystyle \lambda _{2}>0}$:

${\displaystyle {\frac {\partial V_{2}/\partial Y_{2}}{\partial V_{2}/\partial C_{2}}}+1=0\;,}$

カテゴリー2の限界税率はゼロです。カテゴリー1については次のとおりです。

${\displaystyle {\frac {\partial V_{1}/\partial Y_{2}}{\partial V_{1}/\partial C_{1}}}=-{\frac {1-\lambda _{2}(\partial V_{2}/\partial Y_{1})/N_{1}\gamma }{1+\lambda _{2}(\partial V_{2}/\partial C_{1})/N_{1}\gamma }}\;.}$

もし ${\displaystyle \delta _{i}={\frac {\partial V_{i}/\partial Y_{1}}{\partial V_{i}/\partial C_{1}}}\;,\quad (i=1,2)}$カテゴリー1の限界税率は${\displaystyle \delta _{1}+1}$。

また、以下の式にも注意してください。

${\displaystyle \delta _{1}=-\left({\frac {1-\nu \delta _{2}}{1+\nu }}\right)\;,}$

どこ${\displaystyle \nu }$は次のように表されます。

${\displaystyle \nu ={\frac {\lambda _{2}(\partial V_{2}/\partial C_{1})}{N_{1}\gamma }}\;.}$

したがって、仮定により、${\displaystyle \delta _{1}<\delta _{2}}$、 など${\displaystyle -1<\delta _{1}<\delta _{2}}$これは直接証明できる。したがって、カテゴリー1の限界税率は正である。

の場合${\displaystyle \lambda _{1}>0}$、 そして${\displaystyle \lambda _{2}=0}$カテゴリー2の限界税率はマイナスである。一括課税が実施可能であれば、カテゴリー1の個人に課される一括税は、カテゴリー2の個人に課される一括税よりも大きくなるだろう。

所得水準と複数の財が観測可能な場合を考えてみましょう。各個人の消費関数は、ベクトル形式で次のように表されます。

${\displaystyle {\textbf {C}}_{1}=\sum _{j}C_{1j}{\textbf {e}}_{j}}$

${\displaystyle {\textbf {C}}_{2}=\sum _{j}C_{2j}{\textbf {e}}_{j}\;.}$

この場合、政府の予算制約は次のようになります。

${\displaystyle R\leq \sum _{k=1}^{2}(Y_{k}N_{k})-N_{1}\sum _{j}C_{1j}-N_{2}\sum _{j}C_{2j}\;.}$

それから：

${\displaystyle \mu {\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{1j}}}-\lambda _{2}{\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{1j}}}+\lambda _{1}{\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{1j}}}-\gamma N_{1}=0\;,}$

${\displaystyle \mu {\frac {\partial V_{1}}{\partial Y_{1}}}-\lambda _{2}{\frac {\partial V_{2}}{\partial Y_{1}}}+\lambda _{1}{\frac {\partial V_{1}}{\partial Y_{1}}}+\gamma N_{1}=0\;,}$

${\displaystyle {\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{2j}}}+\lambda _{2}{\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{2j}}}-\lambda _{1}{\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{2j}}}-\gamma N_{2}=0\;,}$

${\displaystyle {\frac {\partial V_{2}}{\partial Y_{2}}}+\lambda _{2}{\frac {\partial V_{2}}{\partial Y_{2}}}-\lambda _{1}{\frac {\partial V_{1}}{\partial Y_{2}}}+\gamma N_{2}=0\;.}$

ここ、${\displaystyle \lambda _{1}=0}$そして${\displaystyle \lambda _{2}>0}$したがって、次のことが成り立つ。

${\displaystyle {\frac {\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{2j}}}{\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{2n}}}}=1\;,\quad {\frac {\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{2j}}}{\frac {\partial V_{2}}{\partial Y_{2}}}}=1\;.}$

すべての個人がCL平面上で同じ無差別曲線を持つと仮定します。余暇と消費の分離可能性は次のように表すことができます。

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}U_{k}}{\partial C_{kj}\partial L_{k}}}=0\;,}$降伏

${\displaystyle {\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{1j}}}={\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{1j}}}\;.}$

結果として：

${\displaystyle {\frac {\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{1j}}}{\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{1n}}}}=1\;.}$

したがって、スティグリッツは商品に税金を課す必要はないと述べた。^{[ 4 ]}

能力の高い個人、つまり通常はスキルを反映して高収入を得ている個人が、自分の能力を過小評価するシナリオを考えてみましょう。この場合、政府は選別効果を高めるために、能力の低い個人に課される税金をランダム化する必要があると主張できるかもしれません。特定の条件下では、能力の低い個人に不利益を与えることなく税金をランダム化できる可能性があります。個人が自分の能力を示すことを選択した場合、税制は${\displaystyle \lbrace C_{2}^{*},Y_{2}^{*}\rbrace }$個人が自身の能力を隠蔽することを選択した場合、税額計算方法には2つの可能性があります。${\displaystyle \lbrace C_{1}^{*},Y_{1}^{*}\rbrace }$そして${\displaystyle \lbrace C_{1}^{**},Y_{1}^{**}\rbrace }$無作為化は、前者のケースのリスクが後者のケースのリスクと異なるように行われる。

能力の低いグループに負担をかけないようにするには、各段階で平均消費量を上方修正する必要がある。${\displaystyle Y}$消費が最大化されると、より高い${\displaystyle {\overline {C}}_{1}}$より高い${\displaystyle {\overline {Y}}_{1}}$すると、それらの変数間の関係は次のようになります。

${\displaystyle C_{1}^{*}={\overline {C}}_{1}+h\;,\quad Y_{1}^{*}={\overline {Y}}_{1}+\lambda h}$

${\displaystyle C_{1}^{**}={\overline {C}}_{1}-h\;,\quad Y_{1}^{**}={\overline {Y}}_{1}-\lambda h\;.}$

効用関数は${\displaystyle V_{2}(C_{1}^{*},Y_{1}^{*})}$そして${\displaystyle V_{2}(C_{1}^{**},Y_{1}^{**})}$したがって、最適解の条件は次のとおりである。

${\displaystyle V_{2C^{*}}(d{\overline {C}}_{1}+dh)+V_{2Y^{*}}(d{\overline {Y}}_{1}+\lambda dh)+V_{2C^{**}}(d{\overline {C}}_{1}-dh)+V_{2Y^{**}}(d{\overline {Y}}_{1}-\lambda dh)=0\;,}$

同様に：

${\displaystyle V_{1C^{*}}(d{\overline {C}}_{1}+dh)+V_{1Y^{*}}(d{\overline {Y}}_{1}+\lambda dh)+V_{1C^{**}}(d{\overline {C}}_{1}-dh)+V_{1Y^{**}}(d{\overline {Y}}_{1}-\lambda dh)=0\;.}$

そしてそれに応じて：

${\displaystyle {\begin{bmatrix}SV_{2C}&SV_{2Y}\\SV_{1C}&SV_{1Y}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d{\overline {C}}\\d{\overline {Y}}\end{bmatrix}}=-{\begin{bmatrix}DV_{2C}+\lambda DV_{2Y}\\DV_{1C}+\lambda DV_{1C}\end{bmatrix}}dh\;,}$

どこ${\displaystyle SV_{kC}=V_{kC^{*}}+V_{kC^{**}}}$そして${\displaystyle SV_{kY}=V_{kY^{*}}+V_{kY^{**}}}$そして${\displaystyle k=1,2}$同様に、${\displaystyle DV_{kC}=V_{kC^{*}}-V_{kC^{**}}}$そして${\displaystyle DV_{kY}=V_{kY^{*}}-V_{kY^{**}}}$。

それから：

${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {d({\overline {Y}}-{\overline {C}})}{dh}}={\frac {F_{1}-F_{2}}{(-2)(MRS_{1}-MRS_{2})}}\;,}$

どこ${\displaystyle MRS_{k}=-({\frac {\partial V_{k}}{\partial C_{1}}})^{-1}{\frac {\partial V_{k}}{\partial Y_{1}}}}$に関して${\displaystyle F_{1},F_{2}}$は、${\displaystyle F_{1}=({\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{1}}})^{-1}M_{2}(1-MRS_{1})}$そして${\displaystyle F_{2}=({\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{1}}})^{-1}M_{1}(1-MRS_{2})}$。 また、${\displaystyle M_{k}}$定義される${\displaystyle M_{k}=DV_{kC}+\lambda DV_{kY}}$の1階微分${\displaystyle {\overline {Y}}-{\overline {C}}}$に関して${\displaystyle h}$、 で${\displaystyle h=0}$はゼロです。${\displaystyle M_{k}=0}$そのため、その2階微分を計算する必要がある。

${\displaystyle {\frac {d^{2}({\overline {Y}}-{\overline {C}})}{dh^{2}}}=H_{1}+H_{2}\;,}$

どこ${\displaystyle H_{1}={\frac {d(F_{1}-F_{2})}{dh}}{\frac {1}{-2(MRS_{1}-MRS_{2})}}}$そして${\displaystyle H_{2}=(-1){\frac {d({\overline {Y}}-{\overline {C}})}{dh}}{\frac {d\ln {(-2)(MRS_{1}-MRS_{2})}}{dh}}}$。 など${\displaystyle H_{2}}$消える${\displaystyle h=0}$。 それから：

${\displaystyle {\frac {d^{2}({\overline {Y}}-{\overline {C}})}{dh^{2}}}={\frac {I_{1}+I_{2}}{(-1)(MRS_{1}-MRS_{2})}}\;\;.}$

${\displaystyle I_{1}=(V_{2CC}+2\lambda V_{2CY}+\lambda ^{2}V_{2YY})({\frac {\partial V_{2}}{\partial C_{1}}})^{-1}(1-MRS_{1})}$

${\displaystyle I_{2}=(-1)(V_{1CC}+2\lambda V_{1CY}+\lambda ^{2}V_{1YY})({\frac {\partial V_{1}}{\partial C_{1}}})^{-1}(1-MRS_{2})}$

以来${\displaystyle MRS_{2}<MRS_{1}<1}$ランダム化が望ましい条件は次のように計算されます。^{[ 4 ]}

${\displaystyle (V_{2CC}+2\lambda V_{2CY}+\lambda ^{2}V_{2YY})(V_{1C_{1}}+V_{2Y_{1}})-(V_{1CC}+2\lambda V_{1CY}+\lambda ^{2}V_{2YY})(V_{2C_{1}}+V_{2Y_{1}})<0\;.}$