解析的に既約な環

代数学において、解析的既約環とは、その完備化に零因子が存在しない局所環のことである。幾何学的には、これは一点に解析枝が 1 つだけある多様体に対応する。

ザリスキ (1948) は、代数多様体の局所環が正規環であれば、解析的に既約であることを証明した。既約曲線のノードの局所環など、解析的に既約な被約局所環と既約局所環の例はたくさんあるが、正規でもある例を見つけるのは困難である。永田 (1958、1962、付録 A1、例 7) は、解析的に既約な正規ネーター局所環の例を示した。

K が2 でない特性の体であり、K  [[ x , y ]] が2 変数のK上の形式的な冪級数環であるとする。 R をx、y、およびこれらの元z _nによって生成され、これらの元に局在する K  [[ x , y ]]の部分環とする。

${\displaystyle w=\sum _{m>0}a_{m}x^{m}}$はK ( x )上で超越的である

${\displaystyle z_{1}=(y+w)^{2}}$

${\displaystyle z_{n+1}=(z_{1}-(y+\sum _{0<m<n}a_{m}x^{m})^{2})/x^{n}}$。

このとき、R [ X ]/( X ² – z ₁ ) は解析的に簡約可能な正規ノイザン局所環となる。

• 永田 正義 (1958)、「解析的に簡約可能な正規局所環の例」、京都大学理学部紀要、数学A集、31 :83-85  、MR0097395
• 永田 正義(1962) 「局所環」、インターサイエンス純粋応用数学論文集、第 13 巻、ニューヨーク・ロンドン: インターサイエンス出版社
• ザリスキ、オスカー(1948)、「正規多様体の解析的既約性」、数学年報、2、49 :352–361、doi :10.2307/1969284 、MR  0024158
• ザリスキ、オスカー、サミュエル、ピエール（1975）[1960]、可換代数。第2巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-90171-8、MR  0389876