解析的フレドホルムの定理

数学において、解析的フレドホルムの定理は、ヒルベルト空間上の有界線型作用素の族に対する有界 逆の存在に関する結果である。これは、フレドホルムの代替定理とヒルベルト・シュミットの定理という2つの古典的で重要な定理の基礎となっている。この結果は、スウェーデンの数学者エリック・イヴァル・フレドホルムにちなんで名付けられている。

G ⊆ C をドメイン（開連結集合）とする。( H , ⟨ , ⟩)を実または複素ヒルベルト空間とし、Lin( H ) をHからそれ自身への有界線型作用素の空間とする。Iを恒等作用素とする。B  : G → Lin( H ) を次の写像と する。

• BはG上で解析的であり、すべてのλ0∈Gに対して極限 _{が存在する}。$${\displaystyle \lim _{\lambda \to \lambda _{0}}{\frac {B(\lambda )-B(\lambda _{0})}{\lambda -\lambda _{0}}}}$$
• 演算子B ( λ )は各λ∈Gに対するコンパクト演算子である。

すると、

• ( I − B ( λ )) ^{−1 は任意の}λ ∈ Gに対して存在しない。または
• ( I − B ( λ )) ^{−1 は任意の}λ ∈ G \ Sに対して存在します。ここでS はGの離散部分集合です（つまり、S はG内に極限点を持ちません）。この場合、 λ を( I − B ( λ )) ⁻¹に取る関数はG \ S上で解析的であり、λ ∈ Sであれば、方程式には有限次元の解の族があります。$${\displaystyle B(\lambda )\psi =\psi }$$

• Renardy, Michael; Rogers, Robert C. (2004)。偏微分方程式入門。応用数学テキスト 13 (第 2 版)。ニューヨーク: Springer-Verlag。p. 266。ISBN 0-387-00444-0。（定理8.92）