Loading article…
幾何学において、アマンA1タイルは、右に示す6ピースのプロトタイプセットからのタイルです。これらは1977年にロバート・アマンによって発見されました。[1]アマンは、1971年にロビンソンによって発見されたロビンソンタイルに触発されました。A1タイルは、アマンによって発見され、 「タイルとパターン」で説明されている5セットのタイルの1つです。[2]
A1タイルセットは非周期的である[2]。つまり、ユークリッド平面全体をタイル張りするが、周期的なタイル張りは作成されない。
マッチングによる生成
プロトタイプは、側面と角に凹凸のある正方形で、タイルを敷くと、無限に続く完全な二分木のパターンが形成されます。写真のタイルのマークはこの階層構造を強調していますが、それらは単なる説明的なものであり、凹凸によって既に処理されているため 、追加のマッチング ルールを表すものではありません。
しかし、このようにして生成されたタイリングは、ユークリッド群の等長変換、例えば並進や回転に至っても一意ではありません。次の世代に進むときには、選択肢があります。左の図では、青で強調表示された左上隅の最初のパッチは、緑または赤のタイルで延長できます。これらは互いの鏡像であり、 bというラベルの付いたプロトタイプのインスタンスです。次に、同じ考え方でプロトタイプeを使用する選択肢がさらに 2 つあります。次の世代の残りの部分は固定されます。この次の世代のパターンから逸脱すると、少なくとも後の段階では全体的に一致しない構成に遭遇することになります。
選択肢はアルファベット の無限の単語によって符号化され、ここでgは緑の選択を示し、 r は赤の選択を示す。[3]これらはカントール集合に一対一であるため、その濃度は連続体である。すべての選択が平面のタイリングにつながるわけではない。例えば、緑の選択だけに固執すると、平面の右下隅のみが満たされる。しかし、gとr の間に十分に一般的な無限の数の変更があれば、平面全体を覆うことができる。それでもなお、無数に多くの異なる A1 タイリングが残り、それらはすべて必然的に非周期的である。タイルの下にある正方形を考慮してこれらの異なるタイリングを関連付けるユークリッド等長変換は可算な数だけ存在するため、等長変換まで含めても無数に多くの A1 タイリングが存在している。
さらに、A1 タイリングには、無限に腕を伸ばした断層(コリドーとも呼ばれる) が存在する場合があります。これにより、可能な A1 タイリングの数も増えますが、カーディナリティは連続体のままです。コリドーにより、バイナリ ツリー階層を持つ一部の部分を、他の部分と比較して回転させることができることに注意してください。
その他の写真
参照
参考文献
- ^ ガードナー、マーティン（2001）、The Colossal Book of Mathematics、WW Norton & Company、p. 76、ISBN 978-0393020236
- ^ ab Grünbaum, Branko & Shephard, Geoffrey C. (1986). Tilings and Patterns . ニューヨーク: WH Freeman. ISBN 978-0-7167-1194-0。
- ^ グリュンバウム、ブランコ、シェパード、ジェフリー・コリン（1987年）。『タイルとパターン』ニューヨーク：WHフリーマン、p.528f。ISBN 0-7167-1193-1。