アルファシェイプ

計算幾何学において、アルファ形状、またはα 形状は、有限の点集合の形状に関連付けられたユークリッド平面内の区分線形単純曲線の族です。これらは、Edelsbrunner、Kirkpatrick、および Seidel (1983) によって初めて定義されました。点集合に関連付けられたアルファ形状は、凸包の概念を一般化したものです。つまり、すべての凸包はアルファ形状ですが、すべてのアルファ形状が凸包であるとは限りません。

各実数αに対して、半径 1/ αの一般化円の概念を次のように定義します。

• α  = 0の場合、それは閉じた 半平面です。
• α > 0の場合、半径 1/ α の閉じた円板です。
• α  < 0の場合、それは半径 −1/ αの円の補集合の閉包です。

すると、半径 1/ αの一般化された円板が存在し、その円板の境界上に 2 つの点があり、その内部に点集合がまったく含まれていない場合はいつでも、有限点集合の 2 つの要素の間にアルファ形状の辺が描かれます。

α = 0の場合 、有限点集合に関連付けられたアルファ形状はその通常の凸包になります。

アルファ図形は、点集合のドロネー三角形分割のサブ複合体であるアルファ複合体と密接に関連しています。ドロネー三角形分割の各辺または三角形は、特性半径（辺または三角形を含む最小の空円の半径）に関連付けられる場合があります。各実数 αに対して、 与えられた点集合のα複合体は、半径が最大で 1/ αである辺と三角形の集合によって形成される単体複合体です。

α複体もチェフ複体のサブ複体であるが、周囲空間が2次元または3次元の場合、計算効率が向上する。^[1] [ ^2]

α複合体の辺と三角形の結合は、α形状によく似た形状を形成しますが、円弧で形成された辺ではなく多角形の辺を持つという点で異なります。より具体的には、Edelsbrunner (1995) は、2 つの形状がホモトピー同値であることを示しました。(この後の研究で、Edelsbrunner は、 α複合体のセル結合を指すのに「 α形状」という名前を使用し、関連する曲線形状をαボディと呼びました。)

この技術は、問題の一般化された第一原理研究におけるグリーン関数から得られるフェルミレベルで評価された電子ブロッホスペクトル関数からフェルミ面を再構築するために使用できます。フェルミ面は、信号が最も高い第 1ブリルアンゾーン内の逆格子空間点の集合として定義されます。この定義には、さまざまな形式の無秩序の場合もカバーできるという利点があります。

• ベータスケルトン

• N. Akkiraju、H. Edelsbrunner、M. Facello、P. Fu、EP Mucke、および C. Varela。「アルファ シェイプ: 定義とソフトウェア」。Proc . Internat. Comput. Geom. Software Workshop 1995、ミネアポリス。
• Edelsbrunner, Herbert (1995)、「マルチスケール形状表現のための滑らかな表面」、ソフトウェア技術と理論計算機科学の基礎 (バンガロール、1995)、Lecture Notes in Comput. Sci.、vol. 1026、ベルリン: Springer、pp. 391–412、MR  1458090。
• エデルスブルンナー、ハーバート;カークパトリック、デイビッド G .;ザイデル、ライムンド(1983)、「平面上の点集合の形状について」、IEEE Transactions on Information Theory、29 (4): 551–559、doi :10.1109/TIT.1983.1056714。

ウィキメディア・コモンズには、アルファシェイプに関連するメディアがあります。

• 計算幾何学アルゴリズムライブラリCGALの 2D アルファシェイプと 3D アルファシェイプ
• GUDHI ライブラリの Alpha Complex。
• デューク大学による説明と実装
• アルファシェイプについて知りたいことすべて - イラストとインタラクティブなデモンストレーション付き
• R でポイント クラウドから 3D セットを再構築するための 3D アルファ シェイプの実装
• アルファシェイプの実装の詳細の説明 - アルファシェイプの実装の形式的および直感的な側面を説明する講義
• アルファハル、形状、重みのあるもの -セントルイスのワシントン大学でのロバート・プレスの講義スライド