ARGUS ディストリビューション

アルガス

確率密度関数 ｃ＝１です。
累積分布関数 ｃ＝１です。
パラメータ	${\displaystyle c>0}$カットオフ（実数）曲率（実数） ${\displaystyle \chi >0}$
サポート	${\displaystyle x\in (0,c)\!}$
PDF	テキストを参照
ドイツ連邦共和国	テキストを参照
平均	${\displaystyle \mu =c{\sqrt {\pi /8}}\;{\frac {\chi e^{-{\frac {\chi ^{2}}{4}}}I_{1}( {\tfrac {\chi ^{2}}{4}})}{\Psi (\chi )}}}$ ここで、I 1 は1 次の第 1 種の修正ベッセル関数であり、テキストで与えられます。${\displaystyle \Psi (x)}$
モード	${\displaystyle {\frac {c}{{\sqrt {2}}\chi }}{\sqrt {(\chi ^{2}-2)+{\sqrt {\chi ^{4}+4}}}}}$
分散	${\displaystyle c^{2}\!\left(1-{\frac {3}{\chi ^{2}}}+{\frac {\chi \phi (\chi )}{\Psi (\chi )}}\right)-\mu ^{2}}$

物理学において、ARGUS分布は、粒子物理学実験ARGUSにちなんで名付けられ、^[1]連続背景における崩壊粒子候補の再構成された不変質量の確率分布です^{[説明が必要]}。

ARGUS 分布の 確率密度関数( pdf) は次のとおりです。

${\displaystyle f(x;\chi ,c)={\frac {\chi ^{3}}{{\sqrt {2\pi }}\,\Psi (\chi )}}\cdot {\frac {x}{c^2}}}{\sqrt {1-{\frac {x^{2}}{c^{2}}}}}\exp {\bigg \{}-{\frac {1}{2}}\chi ^{2}{\Big (}1-{\frac {x^{2}}{c^{2}}}{\Big )}{\bigg \}},}$

について。ここで、およびは分布のパラメータであり、 ${\displaystyle 0\leq x<c}$${\displaystyle \chi}$${\displaystyle c}$

${\displaystyle \Psi (\chi )=\Phi (\chi )-\chi \phi (\chi )-{\tfrac {1}{2}},}$

ここで、およびはそれぞれ標準正規分布の累積分布関数と確率密度関数です。 ${\displaystyle \Phi (x)}$${\displaystyle \phi (x)}$

ARGUS分布の 累積分布関数（ cdf）は

${\displaystyle F(x)=1-{\frac {\Psi \left(\chi {\sqrt {1-x^{2}/c^{2}}}\right)}{\Psi (\chi )}}}$。

パラメータcは既知であると仮定されます（不変質量分布の運動学的限界）。一方、χは最大尤度法を用いてサンプルX ₁、…、X _nから推定できます。推定量はサンプルの2次モーメントの関数であり、非線形方程式の解として与えられます。

${\displaystyle 1-{\frac {3}{\chi ^{2}}}+{\frac {\chi \phi (\chi )}{\Psi (\chi )}}={\frac {1} {n}}\sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}^{2}}{c^{2}}}}$。

右辺が 0.4 より大きい場合、解は存在し、一意です。結果として得られる推定値は一貫性があり、漸近的に正規分布します。 ${\displaystyle \scriptstyle {\hat {\chi }}}$

よりピークに近い分布を記述するために、より一般的な形式が使用されることもあります。

${\displaystyle f(x)={\frac {2^{-p}\chi ^{2(p+1)}}{\Gamma (p+1)-\Gamma (p+1,\,{\tfrac {1}{2}}\chi ^{2})}}\cdot {\frac {x}{c^{2}}}\left(1-{\frac {x^{2}}{c^{2}}}\right)^{p}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\chi ^{2}\left(1-{\frac {x^{2}}{c^{2}}}\right)\right\},\qquad 0\leq x\leq c,\qquad c>0,\,\chi >0,\,p>-1}$

${\displaystyle F(x)={\frac {\Gamma \left(p+1,\,{\tfrac {1}{2}}\chi ^{2}\left(1-{\frac {x^{2}}{c^{2}}}\right)\right)-\Gamma (p+1,\,{\tfrac {1}{2}}\chi ^{2})}{\Gamma (p+1)-\Gamma (p+1,\,{\tfrac {1}{2}}\chi ^{2})}},\qquad 0\leq x\leq c,\qquad c>0,\,\chi >0,\,p>-1}$

ここでΓ(·)はガンマ関数、Γ(·,·)は上不完全ガンマ関数です。

ここで、パラメータc、 χ 、  p はそれぞれカットオフ、曲率、および累乗を表します。

モードは次のとおりです。

${\displaystyle {\frac {c}{{\sqrt {2}}\chi }}{\sqrt {(\chi ^{2}-2p-1)+{\sqrt {\chi ^{2}(\chi ^{2}-4p+2)+(1+2p)^{2}}}}}}$

平均は次のとおりです。

${\displaystyle \mu =c\,p\,{\sqrt {\pi }}{\frac {\Gamma (p)}{\Gamma ({\tfrac {5}{2}}+p)}}{\frac {\chi ^{2p+2}}{2^{p+2}}}{\frac {M\left(p+1,{\tfrac {5}{2}}+p,-{\tfrac {\chi ^{2}}{2}}\right)}{\Gamma (p+1)-\Gamma (p+1,\,{\tfrac {1}{2}}\chi ^{2})}}}$

ここでM(·,·,·)はクンマーの合流型超幾何関数である。^{[2] [循環参照]}

差異は次のとおりです。

${\displaystyle \sigma ^{2}=c^{2}{\frac {\left({\frac {\chi }{2}}\right)^{p+1}\chi ^{p+3}e^{-{\tfrac {\chi ^{2}}{2}}}+\left(\chi ^{2}-2(p+1)\right)\left\{\Gamma (p+2)-\Gamma (p+2,\,{\tfrac {1}{2}}\chi ^{2})\right\}}{\chi ^{2}(p+1)\left(\Gamma (p+1)-\Gamma (p+1,\,{\tfrac {1}{2}}\chi ^{2})\right)}}-\mu ^{2}}$

p  = 0.5 の場合、上記の通常の ARGUS になります。

• Albrecht, H. (1994). 「B → J/ψK* 崩壊における分極の測定」. Physics Letters B. 340 ( 3): 217–220. Bibcode :1994PhLB..340..217A. doi :10.1016/0370-2693(94)01302-0.
• Pedlar, T.; Cronin-Hennessy, D.; Hietala, J.; Dobbs, S.; Metreveli, Z.; Seth, K.; Tomaradze, A.; Xiao, T.; Martin, L. (2011). 「D D閾値を超える e ⁺ e ^{−衝突を用いた h} _c (1P)の観測」. Physical Review Letters . 107 (4): 041803. arXiv : 1104.2025 . Bibcode :2011PhRvL.107d1803P. doi :10.1103/PhysRevLett.107.041803. PMID  21866994. S2CID  33751212.
• リーズ、日本。ポワロー、V.プレンシペ、E.ティッセランド、V.ガラ・ティコ、J.グレージュ、E.マルティネリ、M.パラノ、A.パパガロ、M.エイゲン、G.ストゥグ、B.サン、Ｌ．バッタリア、M.ブラウン、DN。フーバーマン、B.カース、LT;コロメンスキー、YG;リンチ、G.イリノイ州オシペンコフ。田辺哲也;ホークス、CM。ソニ、N. AT、ワトソン。コッホ、H.シュローダー、T.アスゲイルソン、DJ。ハーティ、C. TS、マティソン。マッケンナ、JA;他。 （2010年）。 「狭いΥ崩壊における帯電レプトンフレーバー違反の検索」。物理的なレビューレター。104 (15): 151802. arXiv : 1001.1883 . Bibcode :2010PhRvL.104o1802L. doi :10.1103/PhysRevLett.104.151802. PMID  20481982. S2CID  14992286.