15と290の定理

数学において、15定理またはコンウェイ・シュネーバーガーの15定理は、1993年にジョン・H・コンウェイとWA・シュネーバーガーによって証明され、整数行列を持つ正定値二次形式が15までのすべての正の整数を表す場合、それはすべての正の整数を表すと述べています。^[1]この証明は複雑で、公開されることはありませんでした。マンジュル・バーガヴァは、 2000年に公開されたはるかに簡単な証明を見つけました。^[2]

バーガヴァは2005年のSASTRAラマヌジャン賞を受賞した機会を利用して、ジョナサン・P・ハンケと共に、定数15を290に置き換えた積分二次形式に対しても同様の定理が成り立つというコンウェイの予想を解明したことを発表しました。 ^[3]その後、証明はプレプリントの形で発表されました。^[4]

が実数成分を持つ対称行列であるとする。整数成分を持つ任意のベクトルに対して、次のように定義する。 ${\displaystyle Q_{ij}}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle Q(x)=\sum _{i,j}Q_{ij}x_{i}x_{j}}$

この関数は二次形式と呼ばれます。が常に整数である場合、関数は整二次形式と呼ばれます。 ${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q(x)>0}$${\displaystyle x\neq 0}$${\displaystyle Q(x)}$${\displaystyle Q}$

行列の要素が整数のときは常に積分二次形式が得られます。このとき、は整数行列を持つと言われます。ただし、対角要素が整数で、非対角要素が 2 で割った整数である場合でも、 は積分二次形式になります。たとえば、x ² + xy + y ²は積分ですが、積分行列を持ちません。 ${\displaystyle Q_{ij}}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle Q_{ij}}$

すべての正の整数を値として取る正の整列二次形式は普遍的と呼ばれます。15定理によれば、整数行列を持つ二次形式は、1から15までの数を値として取る場合、普遍的です。より正確なバージョンでは、積分行列を持つ正定値二次形式が値1、2、3、5、6、7、10、14、15（OEISのシーケンスA030050）を取る場合、すべての正の整数を値として取るとされています。さらに、これら9つの数のそれぞれについて、この数を除く他の8つの正の整数すべてを値として取る二次形式が存在します。

例えば、二次形式

${\displaystyle w^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

は普遍的です。なぜなら、ラグランジュの四平方定理により、すべての正の整数は 4 つの平方の和として表すことができるからです。15 定理により、これを検証するには、15 までのすべての正の整数が 4 つの平方の和であることを調べれば十分です。(これはラグランジュの定理の別の証明にはなりません。ラグランジュの定理は 15 定理の証明に使用されているからです。)

一方で、

${\displaystyle w^{2}+2x^{2}+5y^{2}+5z^{2},}$

15 以外のすべての正の整数を値として取る積分行列を持つ正定値の二次形式です。

290 定理は、正定積分二次形式が 1 から 290 までの数を値として取る場合、その形式は普遍的であると述べています。より正確なバージョンでは、整数値の積分二次形式が 1、2、3、5、6、7、10、13、14、15、17、19、21、22、23、26、29、30、31、34、35、37、42、58、93、110、145、203、290 (OEIS のシーケンス A030051) のすべての数を表す場合、その形式はすべての正の整数を表し、これら29 の数のそれぞれについて、その 1 つの数を除く他のすべての 28 の正の整数を表す二次形式が存在すると述べています。

Bhargava は、積分行列を持つ二次形式がすべての素数を表すための類似の基準(集合 {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 67, 73} ( OEISのシーケンスA154363 )) と、そのような二次形式がすべての正の奇数を表すための類似の基準(集合 {1, 3, 5, 7, 11, 15, 33} ( OEISのシーケンスA116582 )) を発見しました。

これらの結果の解説はハーン^{[5]とムーン（証明を提供している） [6]}によって書かれている。