ℓ進束

代数幾何学において、ノイザンスキームX上のℓ進層は、エタール位相の-加群から成り、を誘導する逆システムである。^{[1] [2]}${\displaystyle \mathbb {Z} /\ell ^{n}}$${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle F_{n+1}\to F_{n}}$${\displaystyle F_{n+1}\otimes _{\mathbb {Z} /\ell ^{n+1}}\mathbb {Z} /\ell ^{n}{\overset {\simeq }{\to }}F_{n}}$

バット＝ショルツのプロエタール トポロジーは、別のアプローチを提供します。^[3]

エタール コホモロジー全体の発展は、代数多様体に対するコホモロジーの「位相的」理論、つまり任意の特性に対して機能するヴェイユ コホモロジー理論を生み出したいという願望によって推進されました。このような理論の重要な特徴は、特性 0 の体における係数を許容することです。しかし、捩れのない定数エタール層には興味深いコホモロジーがありません。たとえば、 が体 上の滑らかな多様体である場合、すべての正の に対してとなります。一方、が基底体 において可逆である限り、定数層は「正しい」コホモロジーを生成します。そこで、これが真となる素数を取り、 -進コホモロジーを と定義します。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle H^{i}(X_{\text{ét}},\mathbb {Q} )=0}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \mathbb {Z} /m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \ell}$${\displaystyle \ell}$${\displaystyle H^{i}(X_{\text{ét}},\mathbb {Z} _{\ell }):=\varprojlim _{n}H^{i}(X_{\text{ét}},\mathbb {Z} /\ell ^{n}){\text{, and }}H^{i}(X_{\text{ét}},\mathbb {Q} _{\ell }):=\varprojlim _{n}H^{i}(X_{\text{ét}},\mathbb {Z} /\ell ^{n})\otimes \mathbb {Q} }$

しかし、この定義は完全に満足できるものではありません。位相空間の古典的な場合と同様に、 -ベクトル空間の局所系における係数を持つコホモロジーを考慮したい場合があり、そのような局所系とエタール基本群の連続 -表現の間にはカテゴリ同値性があるはずです。 ${\displaystyle \mathbb {Q} _{\ell }}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{\ell }}$

上記の定義のもう 1 つの問題は、が可分的に閉じている場合にのみ適切に動作するという点です。この場合、逆極限に現れるすべてのグループは有限生成であり、極限を取ることは正確です。しかし、 がたとえば数体である場合、コホモロジー群はしばしば無限になり、極限は正確ではなくなるため、関数性に関する問題が生じます。たとえば、のガロアコホモロジーに関連するホックシルト-セールスペクトル列は一般に存在しません。^[4]${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle H^{i}(X_{\text{ét}},\mathbb {Z} /\ell ^{n})}$${\displaystyle H^{i}(X_{\text{ét}},\mathbb {Z} _{\ell })}$${\displaystyle H^{i}((X_{k^{\text{sep}}})_{\text{ét}},\mathbb {Z} _{\ell })}$

これらの考察から、上で説明した逆層のシステムのカテゴリを検討することになります。すると、カテゴリと基本群の表現の望ましい同値性が得られます ( -局所システムの場合、およびが-システムに対しても正規である場合)。最後の段落の問題は、いわゆる連続エタール コホモロジーによって解決されます。連続エタール コホモロジーでは、システムのグローバル セクション上の極限を取る合成関数の導来関数を取ります。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{\ell }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{\ell }}$

ℓ進層は次のように表現される 。${\displaystyle \{F_{n}\}_{\geq 0}}$

• それぞれが構築可能であれば、構築可能です。${\displaystyle F_{n}}$
• それぞれが構築可能かつ局所的に定数である場合に限ります。${\displaystyle F_{n}}$

一部の著者（例えばSGA 4 1 ⁄ 2の著者）^[5]はℓ進層が構成可能であると仮定している。

幾何学的点xを持つ連結スキームXが与えられると、 SGA 1 は、xにおけるXのエタール基本群を、 Xの有限ガロア被覆を分類する群として定義します。すると、 X上の lisse ℓ 進層のカテゴリは、有限自由 - 加群上の の連続表現のカテゴリと同値になります。これは、代数位相幾何学における基本群の連続表現と局所システム間の対応の類似です (このため、lisse ℓ 進層は局所システムとも呼ばれることがあります)。 ${\displaystyle \pi _{1}^{\text{ét}}(X,x)}$${\displaystyle \pi _{1}^{\text{ét}}(X,x)}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{l}}$

ℓ 進コホモロジー群は、特定のねじれ係数を持つエタールコホモロジー群の逆極限です。

ℓ進コホモロジーの場合と同様に、構成可能な層の導来カテゴリは本質的に次のように定義される。${\displaystyle {\overline {\mathbb {Q} }}_{\ell }}$${\displaystyle D_{c}^{b}(X,{\overline {\mathbb {Q} }}_{\ell }):=(\varprojlim _{n}D_{c}^{b}(X,\mathbb {Z} /\ell ^{n}))\otimes _{\mathbb {Z} _{\ell }}{\overline {\mathbb {Q} }}_{\ell }.}$

(Scholze & Bhatt 2013) は、「日常生活では、(あまりトラブルに巻き込まれることなく)単に仮説上の派生カテゴリの完全なサブカテゴリであると仮定します...」 と書いています。${\displaystyle D_{c}^{b}(X,{\overline {\mathbb {Q} }}_{\ell })}$${\displaystyle D(X,{\overline {\mathbb {Q} }}_{\ell })}$

• フーリエ・ドリーニュ変換

• Exposé V、VI of Illusie、Luc編（1977年）。Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois-Marie 1965–66 SGA 5。数学の講義ノート（フランス語）。 Vol. 589.ベルリン。ニューヨーク: Springer-Verlag。 xii+484。土井：10.1007/BFb0096802。ISBN 3-540-08248-4MR  0491704 。
• JS ミルン (1980)、エタール コホモロジー、ニュージャージー州プリンストン: Princeton University Press、ISBN 0-691-08238-3

• Mathoverflow: 滑らかな (ℓ 進) 層とは何かについてのわかりやすい説明はありますか?
• スタンフォード大学における数論学習セミナー 2016-2017