エタールホモトピー型

数学、特に代数幾何学において、エタールホモトピー型は、代数多様体の位相空間のホモトピー型の類似物である。

大まかに言うと、多様体またはスキームXに対して、エタール被覆を考えるという考え方である。${\displaystyle U\rightarrow X}$そして、 Uの各連結成分とより高次の「交点」、すなわちファイバー製品を置き換えるために、${\displaystyle U_{n}:=U\times _{X}U\times _{X}\dots \times _{X}U}$( Uのn +1 コピー、${\displaystyle n\geq 0}$1点によって ) を分割します。これにより、Xおよびそのエタール位相に関連する情報を捉えた単体集合が得られます。

もう少し正確に言うと、一般的にはエタールハイパーカバーを扱う必要がある。${\displaystyle (U_{n})_{n\geq 0}}$通常のエタール被覆によって決定される上記の単体スキームの代わりに、より細かいハイパー被覆を取る（これは技術的には、すべてのハイパー被覆を取ることによって決定される単体集合内のプロオブジェクトを操作することによって達成される）と、結果として得られるオブジェクトはXのエタールホモトピー型となる。古典的なトポロジーと同様に、エタールトポロジーに関連する通常のデータの多く、特にスキームのエタール基本群と局所的に定数なエタール層のエタールコホモロジーを復元することができる。

のために${\displaystyle Spec(k)}$道徳的に${\displaystyle Spec({\bar {k}})}$単体複体は計算するものとなる${\displaystyle BGal(k)}$。

プロエタールサイトは、単体プロ有限集合において、精緻化を行い、ホモトピー的対象を生成する。これは、単体プロ有限集合のホモトピー圏への忘却関手を持つ。

• Artin, Michael ; Mazur, Barry (1969).エタールホモトピー. Springer.
• フリードランダー、エリック（1982）。単体スキームのエタールホモトピー。数学研究年報、PUP。
• Scholze、プロエターレサイト。https://www.youtube.com/watch?v=qL5uxXAeU00&ab_channel=HausdorffCenterforMathematics

• http://ncatlab.org/nlab/show/étale+homotopy