確率論 と 方向統計学 において 、 ラップされた非対称ラプラス分布は、 単位円 の周囲に 非対称ラプラス分布 を「ラップ」することで得られる ラップされた確率分布 です 。対称の場合 (非対称パラメータ κ = 1)、分布はラップされたラプラス分布になります。2 つの異なる ラップされた指数分布からの 2 つの円変量 ( Z ) の比の分布は、 ラップされた非対称ラプラス分布になります。これらの分布は、金融データの確率的モデリングに応用されています。
意味 ラップされた非対称ラプラス分布の 確率密度関数は 次の通りである: [1]
ふ
わ あ ら
（ θ ; メートル 、 λ 、 κ ）
=
∑
け = − ∞
∞
ふ
あ ら
（ θ + 2 π け 、 メートル 、 λ 、 κ ）
=
κ λ
κ
2
+ 1
{
e
− （ θ − メートル ） λ κ
1 −
e
− 2 π λ κ
−
e
（ θ − メートル ） λ
/
κ
1 −
e
2 π λ
/
κ
もし
θ ≥ メートル
e
− （ θ − メートル ） λ κ
e
2 π λ κ
− 1
−
e
（ θ − メートル ） λ
/
κ
e
− 2 π λ
/
κ
− 1
もし
θ < メートル
{\displaystyle {\begin{aligned}f_{WAL}(\theta ;m,\lambda ,\kappa )&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f_{AL}(\theta + 2\pi k,m,\lambda ,\kappa )\\[10pt]&={\dfrac {\kappa \lambda }{\kappa ^{2}+1}}{\begin{cases}{\dfrac {e^{-(\theta -m)\lambda \kappa }}{1-e^{-2\pi \lambda \kappa }} }-{\dfrac {e^{(\theta -m)\lambda /\kappa }}{1-e^{2\pi \lambda /\kappa }}}&{\text{if }}\theta \geq m\\[12pt]{\dfrac {e^{-(\theta -m)\lambda \kappa }}{e^{2\pi \lambda \kappa }-1}}-{ \dfrac {e^{(\theta -m)\lambda /\kappa }}{e^{-2\pi \lambda /\kappa }-1}}&{\text{if }}\theta <m\end{cases}}\end{aligned}}}
ここで、は 非対称ラプラス分布 です 。角度パラメータは に制限されます 。スケールパラメータは で、 これはアンラップ分布のスケールパラメータであり、 は アンラップ分布の非対称パラメータです。
ふ
あ ら
{\displaystyle f_{AL}}
0 ≤ θ < 2 π
{\displaystyle 0\leq \theta <2\pi }
λ > 0
{\displaystyle \lambda >0}
κ > 0
{\displaystyle \kappa >0}
したがって、累積分布関数 は次のようになります。
ふ
わ あ ら
{\displaystyle F_{WAL}}
ふ
わ あ ら
（ θ ; メートル 、 λ 、 κ ） =
κ λ
κ
2
+ 1
{
e
メートル λ κ
（ 1 −
e
− θ λ κ
）
λ κ （
e
2 π λ κ
− 1 ）
+
κ
e
− メートル λ
/
κ
（ 1 −
e
θ λ
/
κ
）
λ （
e
− 2 π λ
/
κ
− 1 ）
もし
θ ≤ メートル
1 −
e
− （ θ − メートル ） λ κ
λ κ （ 1 −
e
− 2 π λ κ
）
+
κ （ 1 −
e
（ θ − メートル ） λ
/
κ
）
λ （ 1 −
e
2 π λ
/
κ
）
+
e
メートル λ κ
− 1
λ κ （
e
2 π λ κ
− 1 ）
+
κ （
e
− メートル λ
/
κ
− 1 ）
λ （
e
− 2 π λ
/
κ
− 1 ）
もし
θ > メートル
{\displaystyle F_{WAL}(\theta ;m,\lambda ,\kappa )={\dfrac {\kappa \lambda }{\kappa ^{2}+1}}{\begin{cases}{\dfrac { e^{m\lambda \kappa }(1-e^{-\theta \lambda \kappa })}{\lambda \kappa (e^{2\pi \lambda \kappa }-1)}}+{\dfrac {\kappa e^{-m\lambda /\kappa }(1-e^{\theta \lambda /\kappa })}{\lambda (e^ {-2\pi \lambda /\kappa }-1)}}&{\text{if }}\theta \leq m\\{\dfrac {1-e^{-(\theta -m)\lambda \kappa }}{\lambda \kappa (1-e^{-2\pi \lambda \kappa })}}+{ \dfrac {\kappa (1-e^{(\theta -m)\lambda /\kappa })}{\lambda (1-e^{2\pi \lambda /\kappa })}}+{\dfrac {e^{m\lambda \kappa }-1}{\lambda \kappa (e^{2\pi \lambda \kappa }-1)}}+{\dfrac {\kappa (e^{-m\lambda /\kappa }-1)}{\lambda (e^{-2\pi \lambda /\kappa }-1)}}&{\text{if }}\theta >m\end{ケース}}}
特性関数 ラップされた非対称ラプラスの特性関数は 、 整数引数で評価された非対称ラプラス関数の特性関数です。
φ
ん
（ メートル 、 λ 、 κ ） =
λ
2
e
私 メートル ん
（
ん − 私 λ
/
κ
）
（
ん + 私 λ κ
）
{\displaystyle \varphi _{n}(m,\lambda ,\kappa )={\frac {\lambda ^{2}e^{imn}}{\left(ni\lambda /\kappa \right)\left (n+i\lambda \kappa \right)}}}
これは、すべての実数θと mに対して有効な円変数 z = e i(θ-m) に関して、ラップされた非対称ラプラスPDFの別の表現を生成します 。
ふ
わ あ ら
（ ず ; メートル 、 λ 、 κ ）
=
1
2 π
∑
ん = − ∞
∞
φ
ん
（ 0 、 λ 、 κ ）
ず
− ん
=
λ
π （ κ + 1
/
κ ）
{
私は
（
Φ （ ず 、 1 、 − 私 λ κ ） − Φ
（
ず 、 1 、 私 λ
/
κ
）
）
−
1
2 π
もし
ず ≠ 1
コス （ π λ κ ） + コス （ π λ
/
κ ）
もし
ず = 1
{\displaystyle {\begin{aligned}f_{WAL}(z;m,\lambda ,\kappa )&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{ \infty }\varphi _{n}(0,\lambda ,\kappa )z^{-n}\\[10pt]&={\frac {\lambda }{\pi (\kappa +1/\kappa )}}{\begin{cases}{\textrm {Im}}\left(\Phi (z,1,-i\lambda \kappa )-\ Phi \left(z,1,i\lambda /\kappa \right)\right)-{\frac {1}{2\pi }}&{\text{if }}z\neq 1\\[12pt]\coth(\pi \lambda \kappa )+\coth(\pi \lambda /\kappa )&{\text{if }}z=1\end{cases}}\end{aligned} }}
ここで、は Lerch 超越 関数であり 、coth() は 双曲余接 関数です。
Φ （ ）
{\displaystyle \Phi ()}
円形の瞬間 円変数に関して、 ラップされた非対称ラプラス分布の円モーメントは、整数引数で評価された非対称ラプラス分布の特性関数です。
ず =
e
私 θ
{\displaystyle z=e^{i\theta }}
⟨
ず
ん
⟩ =
φ
ん
（ メートル 、 λ 、 κ ）
{\displaystyle \langle z^{n}\rangle =\varphi _{n}(m,\lambda ,\kappa )}
最初のモーメントはz の平均値であり 、平均結果または平均結果ベクトルとも呼ばれます。
⟨ ず ⟩ =
λ
2
e
私 メートル
（
1 − 私 λ
/
κ
）
（
1 + 私 λ κ
）
{\displaystyle \langle z\rangle ={\frac {\lambda ^{2}e^{im}}{\left(1-i\lambda /\kappa \right)\left(1+i\lambda \kappa \右）}}}
平均角度は
（ − π ≤ ⟨ θ ⟩ ≤ π ）
{\displaystyle (-\pi \leq \langle \theta \rangle \leq \pi )}
⟨ θ ⟩ = 引数 （ ⟨ ず ⟩ ） = 引数 （
e
私 メートル
）
{\displaystyle \langle \theta \rangle =\arg(\,\langle z\rangle \,)=\arg(e^{im})}
そして平均結果の長さは
R =
|
⟨ ず ⟩
|
=
λ
2
（
1
κ
2
+
λ
2
）
（
κ
2
+
λ
2
）
。
{\displaystyle R=|\langle z\rangle |={\frac {\lambda ^{2}}{\sqrt {\left({\frac {1}{\kappa ^{2}}}+\lambda ^{2}\right)\left(\kappa ^{2}+\lambda ^{2}\right)}}}.}
円分散は1 − R
ランダム変数の生成 X が非対称ラプラス分布 (ALD) から抽出されたランダム変量である場合、 は ラップされた ALD から抽出された円変量となり、 は ラップされた ALD から抽出された角度変量となります 。
Z
=
e
i
X
{\displaystyle Z=e^{iX}}
θ
=
arg
(
Z
)
+
π
{\displaystyle \theta =\arg(Z)+\pi }
0
<
θ
≤
2
π
{\displaystyle 0<\theta \leq 2\pi }
ALD は指数分布 から抽出された 2 つの変量の差の分布であるため 、 Z 1 が 平均 m 1 、分布率 λ/κ のラップされた指数分布から抽出され、 Z 2 が平均 m 2 、分布率 λκ のラップされた指数分布から抽出された 場合 、 Z 1 / Z 2は、パラメータ ( m 1 - m 2 、λ、κ) を持つラップされた ALD から抽出された円変量になり、 は、 パラメータを持つラップされた ALD から抽出された角度変量になります 。
θ
=
arg
(
Z
1
/
Z
2
)
+
π
{\displaystyle \theta =\arg(Z_{1}/Z_{2})+\pi }
−
π
<
θ
≤
π
{\displaystyle -\pi <\theta \leq \pi }
参照
参考文献
^ Jammalamadaka, S. Rao; Kozubowski, Tomasz J. (2004). 「歪んだ循環データのモデリングのためのラップ分布の新しいファミリー」 (PDF) . Communications in Statistics – Theory and Methods . 33 (9): 2059–2074. doi :10.1081/STA-200026570 . 2011-06-13 に取得。
![{\displaystyle {\begin{aligned}f_{WAL}(\theta ;m,\lambda ,\kappa )&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f_{AL}(\theta + 2\pi k,m,\lambda ,\kappa )\\[10pt]&={\dfrac {\kappa \lambda }{\kappa ^{2}+1}}{\begin{cases}{\dfrac {e^{-(\theta -m)\lambda \kappa }}{1-e^{-2\pi \lambda \kappa }} }-{\dfrac {e^{(\theta -m)\lambda /\kappa }}{1-e^{2\pi \lambda /\kappa }}}&{\text{if }}\theta \geq m\\[12pt]{\dfrac {e^{-(\theta -m)\lambda \kappa }}{e^{2\pi \lambda \kappa }-1}}-{ \dfrac {e^{(\theta -m)\lambda /\kappa }}{e^{-2\pi \lambda /\kappa }-1}}&{\text{if }}\theta <m\end{cases}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33a7515212e27b41059ddb3229cb436bf7683569)
![{\displaystyle {\begin{aligned}f_{WAL}(z;m,\lambda ,\kappa )&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{ \infty }\varphi _{n}(0,\lambda ,\kappa )z^{-n}\\[10pt]&={\frac {\lambda }{\pi (\kappa +1/\kappa )}}{\begin{cases}{\textrm {Im}}\left(\Phi (z,1,-i\lambda \kappa )-\ Phi \left(z,1,i\lambda /\kappa \right)\right)-{\frac {1}{2\pi }}&{\text{if }}z\neq 1\\[12pt]\coth(\pi \lambda \kappa )+\coth(\pi \lambda /\kappa )&{\text{if }}z=1\end{cases}}\end{aligned} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db36124eb2b7b7db84902cf00ec585545e61b700)
