確率分布
確率論 と 方向統計学 において 、 ラップ指数分布は、 指数分布を 単位円 の周りに 「ラップ」することによって得られる ラップ確率分布 です 。
意味 ラップ指数分布の 確率密度関数 は [1]
ふ
わ え
（ θ ; λ ） =
∑
け = 0
∞
λ
e
− λ （ θ + 2 π け ）
=
λ
e
− λ θ
1 −
e
− 2 π λ
、
{\displaystyle f_{WE}(\theta ;\lambda )=\sum _{k=0}^{\infty }\lambda e^{-\lambda (\theta +2\pi k)}={\frac {\lambda e^{-\lambda \theta }}{1-e^{-2\pi \lambda }}},}
ここで、 は アンラップ分布の速度パラメータです。これは、 速度パラメータ λを持つ 指数分布 から 観測値 X を範囲 に制限することによって得られる 切断分布 と同じです 。この分布は周期的ではないことに注意してください。
0 ≤ θ < 2 π
{\displaystyle 0\leq \theta <2\pi }
λ > 0
{\displaystyle \lambda >0}
0 ≤ バツ < 2 π
{\displaystyle 0\leq X<2\pi }
特性関数 ラップされた指数関数の特性関数は 、 整数引数で評価された指数関数の特性関数です。
φ
ん
（ λ ） =
1
1 − 私 ん
/
λ
{\displaystyle \varphi _{n}(\lambda )={\frac {1}{1-in/\lambda }}}
これは、すべての実数θとmに対して有効な循環変数z = e i (θ-m) に関して、ラップされた指数PDFの別の表現を生成します 。
ふ
わ え
（ ず ; λ ）
=
1
2 π
∑
ん = − ∞
∞
ず
− ん
1 − 私 ん
/
λ
=
{
λ π
私は
（ Φ （ ず 、 1 、 − 私 λ ） ） −
1
2 π
もし
ず ≠ 1
λ
1 −
e
− 2 π λ
もし
ず = 1
{\displaystyle {\begin{aligned}f_{WE}(z;\lambda )&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {z^{-n}}{1-in/\lambda }}\\[10pt]&={\begin{cases}{\frac {\lambda }{\pi }}\,{\textrm {Im}}(\Phi (z,1,-i\lambda ))-{\frac {1}{2\pi }}&{\text{if }}z\neq 1\\[12pt]{\frac {\lambda }{1-e^{-2\pi \lambda }}}&{\text{if }}z=1\end{cases}}\end{aligned}}}
ここで、は レルヒの超越 関数です 。
Φ （ ）
{\displaystyle \Phi ()}
円形の瞬間 円変数に関して、 ラップされた指数分布の円モーメントは、整数引数で評価された指数分布の特性関数です。
ず =
e
私 θ
{\displaystyle z=e^{i\theta }}
⟨
ず
ん
⟩ =
∫
Γ
e
私 ん θ
ふ
わ え
（ θ ; λ ） d θ =
1
1 − 私 ん
/
λ
、
{\displaystyle \langle z^{n}\rangle =\int _{\Gamma }e^{in\theta }\,f_{WE}(\theta ;\lambda )\,d\theta ={\frac { 1}{1-in/\lambda }},}
ここで、 は 長さ の区間です 。第 1 モーメントは z の平均値であり、平均結果または平均結果ベクトルとも呼ばれます。
Γ
{\displaystyle \Gamma \,}
2 π
{\displaystyle 2\pi }
⟨ ず ⟩ =
1
1 − 私
/
λ
。
{\displaystyle \langle z\rangle ={\frac {1}{1-i/\lambda }}.}
平均角度は
⟨ θ ⟩ =
あ r グ
⟨ ず ⟩ = アークタンジェント （ 1
/
λ ） 、
{\displaystyle \langle \theta \rangle =\mathrm {Arg} \langle z\rangle =\arctan(1/\lambda ),}
そして平均結果の長さは
R =
|
⟨ ず ⟩
|
=
λ
1 +
λ
2
。
{\displaystyle R=|\langle z\rangle |={\frac {\lambda }{\sqrt {1+\lambda ^{2}}}}.}
そして分散は1- R になります。
特徴づけ ラップ指数分布は、 期待値の固定値の 範囲に制限された分布の 最大エントロピー確率分布 である。 [1]
0 ≤ θ < 2 π
{\displaystyle 0\leq \theta <2\pi }
え （ θ ）
{\displaystyle \operatorname {E} (\theta )}
参照
参考文献
^ ab Jammalamadaka, S. Rao; Kozubowski, Tomasz J. (2004). 「歪んだ循環データのモデリングのためのラップ分布の新しいファミリー」 (PDF) . Communications in Statistics - Theory and Methods . 33 (9): 2059–2074. doi :10.1081/STA-200026570 . 2011-06-13 に取得。
![{\displaystyle {\begin{aligned}f_{WE}(z;\lambda )&={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {z^{-n}}{1-in/\lambda }}\\[10pt]&={\begin{cases}{\frac {\lambda }{\pi }}\,{\textrm {Im}}(\Phi (z,1,-i\lambda ))-{\frac {1}{2\pi }}&{\text{if }}z\neq 1\\[12pt]{\frac {\lambda }{1-e^{-2\pi \lambda }}}&{\text{if }}z=1\end{cases}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95e9059afd3d0d8d75dd6cb3cbe6e0acf8cb11b5)
