クーロンギャップ

クーロンギャップは、M.ポラック^[1]によって初めて導入され、相互作用する局在電子のシステムの単一粒子状態密度（DOS）におけるソフトギャップです 。長距離クーロン相互作用により、単一粒子DOSは化学ポテンシャルで、十分に低い温度で消失し、熱励起によってギャップが消失することはありません。

零温度では、系の古典的な取り扱いにより、フェルミエネルギー付近で DOS の上限が与えられ、これはEfrosとShklovskiiによって初めて示唆された。^[2]議論は以下のとおりである。系の基底状態の構成を見てみましょう。無秩序性と他のすべての電子とのクーロン相互作用によるサイト の電子のエネルギーを と定義すると (占有サイトと非占有サイトの両方に対してこれを定義)、占有サイトから非占有サイトに電子を移動させるのに必要なエネルギーが次の式で与えられることは容易にわかります。 ${\displaystyle E_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

${\displaystyle \Delta E=E_{j}-E_{i}-e^{2}/r_{ij}}$。

最後の項を減算することで、 にはサイト にある電子との相互作用による項が含まれているが、電子を移動した後はこの項は考慮されないという事実が説明されます。このことから、それより上のエネルギーを持つすべてのサイトが空で、それより下のサイトが満たされるようなエネルギーが存在することは容易にわかります (これがフェルミエネルギーですが、相互作用のあるシステムを扱っているため、これがまだ明確に定義されていることは事前には明らかではありません)。フェルミエネルギー で有限の単一粒子 DOS があると仮定します。占有サイト から非占有サイト への電子のあらゆる可能な移動について、投資されるエネルギーは正でなければなりません。これは、システムの基底状態、つまり にあると仮定しているためです。大規模なシステムがあると仮定して、間隔 のエネルギーを持つすべてのサイトについて考えます。仮定により、これらのサイトの数は です。 説明したように、これらの のうち は占有され、その他は非占有になります。占有サイトと非占有サイトのすべてのペアのうち、2 つが互いに最も近いものを選択しましょう。サイトが空間内にランダムに分布していると仮定すると、これら 2 つのサイト間の距離は のオーダーであることがわかります。 ここで は空間の次元です。 の式を前の式に代入すると、不等式が得られます。 ここで はオーダー 1 の係数です。 であるため 、この不等式は が十分に小さい に対しては必ず破れます。したがって、 での有限の DOS を想定すると矛盾が生じます。 の近くの DOSが に比例するという仮定の下で上記の計算を繰り返すと、 であることがわかります。これがクーロン ギャップの上限です。Efros ^[3]は単一電子励起を考慮し、DOS の積分微分方程式を得て、クーロン ギャップが実際に上記の式に従う (つまり、上限が厳密な境界である) ことを示しています。 ${\displaystyle E_{j}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle E_{f}}$${\displaystyle g(E_{f})}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \Delta E>=0}$${\displaystyle [E_{f}-\epsilon ,E_{f}+\epsilon ].}$${\displaystyle N=2\epsilon g(E_{f}).}$${\displaystyle N/2}$${\displaystyle R\sim (N/V)^{-1/d}}$${\displaystyle d}$${\displaystyle N}$${\displaystyle E_{j}-E_{i}-Ce^{2}(\epsilon g(E_{f})/V)^{1/d}>0}$${\displaystyle C}$${\displaystyle E_{j}-E_{i}<2\epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle E_{f}}$${\displaystyle E_{f}}$${\displaystyle (E-E_{f})^{\alpha }}$${\displaystyle \alpha >=d-1}$

この問題の他の扱い方としては、平均場数値アプローチ^{[4]や、より最近の扱い方[5]} などがあり、これらも上記で示唆した上限が厳密な上限であることを検証している。モンテカルロシミュレーションも多数実行されたが^{[6] [7] 、} そのうちのいくつかは上記で引用した結果と一致しなかった。問題の量子的側面を扱った研究はほとんどない。^[8] 無秩序のないクリーンなシステムにおける古典的なクーロンギャップは、メトロポリスモンテカルロシミュレーションによってサポートされる拡張動的平均場理論 (EDMFT) 内でうまく捉えられている。^[9]

ギャップの直接的な実験的確認は、2次元および3次元で単一粒子DOSを調べたトンネル実験によって行われました。^{[10] [11]}実験は、2次元では線形ギャップ、3次元では放物線ギャップを明確に示しました。 クーロンギャップの別の実験的結果は、局所領域でのサンプルの伝導率に見られます。励起スペクトルにギャップが存在すると、モット可変範囲ホッピングによって予測されるよりも伝導率が低下します。モット導出で単一粒子DOSの解析的表現を使用すると、どの次元でも普遍的な依存関係が得られます。^[12]この観察は、ホッピングの最適エネルギーがクーロンギャップの幅よりも小さくなるような特定の温度以下で発生すると予想されます。 モットからいわゆるエフロス-シュクロフスキー可変範囲ホッピングへの移行は、さまざまなシステムで実験的に観察されています。^[13]しかしながら、エフロス・シュクロフスキー伝導率公式の厳密な導出は提示されておらず、いくつかの実験では、モット理論にもエフロス・シュクロフスキー理論にも当てはまらない値を示す挙動が観察されている。 ${\displaystyle e^{-1/T^{1/2}}}$${\displaystyle e^{-1/T^{\alpha }}}$${\displaystyle \alpha }$

• クーロンの法則