ウォルドの定理

統計学において、ハーマン・ウォルドにちなんで名付けられたウォルド分解またはウォルド表現定理（ウィーナー・ヒンチン定理の離散時間版であるウォルド定理と混同しないように）は、共分散定常な時系列はすべて${\displaystyle Y_{t}}$これは、決定論的な時系列と確率的な時系列の2つの合計として表すことができる。

正式に

${\displaystyle Y_{t}=\sum _{j=0}^{\infty }b_{j}\varepsilon _{tj}+\eta _{t},}$

どこ：

• ${\displaystyle Y_{t}}$検討されている時系列は、

• ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$これは、プロセスに対するイノベーションプロセスである無相関のシーケンスです${\displaystyle Y_{t}}$つまり、線形フィルタに入力される白色雑音プロセスである。${\displaystyle \{b_{j}\}}$。

• ${\displaystyle b}$は、移動平均重み（係数またはパラメータ）の、場合によっては無限のベクトルです。

• $\displaystyle \eta _{t}}$これは、過去の値の線形結合として完全に決定されるという意味で、「決定論的」時系列です（例えば、Anderson (1971) 第 7 章、第 7.6.3 節、420-421 ページを参照）。これには、正弦波や余弦波などの「決定論的項」が含まれる場合があります。${\displaystyle t}$しかし、それは確率過程であり、共分散定常性も有するため、定常性に違反する任意の決定論的過程であるはずがない。

移動平均係数には以下の特性があります。

1. 安定、すなわち、二乗和可能$\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }|b_{j}|^{2}}$<${\displaystyle \infty }$
2. 因果関係がある（つまり、 j < 0となる項は存在しない）
3. 最小位相
4. 絶え間ない （${\displaystyle b_{j}}$tとは無関係）
5. 定義するのが一般的${\displaystyle b_{0}=1}$

この定理は存在定理と考えることができます。つまり、任意の定常過程は、この一見特別な表現を持ちます。このような単純な線形かつ正確な表現が存在することも注目に値しますが、移動平均モデルの特殊性はさらに注目に値します。移動平均ではあるものの、これらの特性1～4を満たさない過程を作成することを考えてみてください。たとえば、係数は${\displaystyle b_{j}}$非因果的で非最小位相モデルを定義することは可能です。しかしながら、この定理は、このプロセスを正確に表す因果的な最小位相移動平均の存在を保証します。因果性と最小遅延特性の場合にこれがどのように機能するかは、Scargle (1981) で議論されており、そこでは Wold 分解の拡張が議論されています。

ウォルドの定理の有用性は、変数の動的な変化を可能にする点にある。${\displaystyle Y_{t}}$線形モデルで近似される。イノベーションが${\displaystyle \varepsilon _{t}}$が独立である場合、線形モデルは観測値と関連付けられる唯一の可能な表現である。${\displaystyle Y_{t}}$過去の進化に関して。しかし、${\displaystyle \varepsilon _{t}}$が単に無相関だが独立ではない系列である場合、線形モデルは存在するが、それは系列の動的依存性を表す唯一の表現ではない。後者の場合、線形モデルはあまり役に立たない可能性があり、観測値と関連付ける非線形モデルが存在するだろう。${\displaystyle Y_{t}}$過去の進化に関して。しかし、実際の時系列分析では、簡便性などの理由から、線形予測子のみが考慮されることが多く、その場合、ウォルド分解が直接的に関連します。

ウォルドの定理は無限個のパラメータに依存しますが、実際には通常、それらは急速に減少します。自己回帰モデルは、対応する移動平均が多数の係数を持つ場合、少数の係数しか持たない代替モデルです。これら2つのモデルは、非定常性が関係する場合、自己回帰移動平均（ARMA）モデル、または自己回帰積分移動平均（ARIMA）モデルに組み合わせることができます。スカーグル（1981）とその参考文献を参照してください。さらに、この論文では、移動平均の一般性（必ずしも安定、因果的、または最小遅延である必要はない）とイノベーションのより明確な特徴付け（無相関であるだけでなく、同一かつ独立に分布している）を可能にするウォルドの定理の拡張を示しています。この拡張により、物理的または天体物理学的プロセスにより忠実なモデルが可能になり、特に「時間の矢」を感知することができます。

• アンダーソン、TW（1971）。時系列の統計分析。ワイリー。
• ネルロブ、M.、グレザー、デイビッド M.、カルヴァーリョ、ホセ L. (1995).経済時系列分析（改訂 版）. サンディエゴ：アカデミック・プレス. pp. 30–36 . ISBN  0-12-515751-7。
• Scargle, JD (1981).天文学的時系列解析の研究。I – 時間領域におけるランダム過程のモデリング。天体物理学ジャーナル補足シリーズ。第45巻、 1–71 ページ。 
• Wold, H. (1954) 『定常時系列分析の研究』 、第2版改訂版、 Peter Whittleによる「時系列分析の最近の発展」に関する付録付き。Almqvist and Wiksell Book Co.、ウプサラ。