シャッフリング

少し練習すれば簡単にできるシャッフル方法の 1 つは、オーバーハンド シャッフルです。ヨハン・ヨナソンは、「オーバーハンド シャッフルとは、例えば右手から左手に徐々にカードを移すシャッフル技法で、親指でデッキの上部から小さな束をスライドさせて落とします。」と書いています。^{[ 1 ]}通常行われる詳細な手順としては、まず左手にカードの束を持ち、右手の親指と指でカードの束の下部からほとんどのカードをまとめてつかみ、左手に残っている小さな束から離します。次に、右手から小さな束を 1 つずつ放して、左手に蓄積されるカードの束の上部に落とします。このプロセスを数回繰り返します。各シャッフルにおける小さな束の数と、繰り返して行うシャッフルの回数によって、全体のランダム性が向上します。

オーバーハンドシャッフルは、カードの順番を操作して不正なデッキを作成するために、手品のようなテクニックを使う機会を十分に提供します。オーバーハンドシャッフルでプレイヤーが不正を行う最も一般的な方法は、必要なカードをデッキの一番上または一番下に持ってきて、シャッフルの開始時にそれを一番下に滑り込ませる（最初に一番上にあった場合）、またはシャッフルの最後のカードとして残しておき、一番上に落とす（元々デッキの一番下にあった場合）ことです。

一般的なシャッフル技法は、リフル、ダブテールシャッフル、またはリーフィング・ザ・カードと呼ばれ、両手にそれぞれ半分ずつ持ち、親指を内側に向け、親指でカードを放して、カードが重なり合うようにテーブルに落とします。多くの人は、リフル後にカードを持ち上げて、ブリッジと呼ばれるものを作り、カードを元の位置に戻します。また、半分をテーブルに平らに置き、後ろの角を合わせ、親指で後ろの端を持ち上げながら半分を押し合わせることでもできます。この方法はより難しいですが、シャッフル中にカードが露出するリスクを最小限に抑えるため、カジノでよく使用されます。完璧なリフルシャッフルには 2 種類あります。一番上のカードが上から 2 番目に移動する場合はインシャッフル、そうでない場合はアウトシャッフル(一番上と一番下のカードの両方を保持)と呼ばれます。

ギルバート・シャノン・リードモデルは、リフルのランダムな結果を数学的にモデル化したもので、実験的に人間のシャッフルによく適合することが示されており^{[ 2 ]}、カードデッキを完全にランダム化するために7回リフルするという推奨事項の根拠となっている^{[ 3 ]} 。その後、数学者のロイド・M・トレフェセンとロイド・N・トレフェセンは、ギルバート・シャノン・リードモデルの修正版を用いた論文を発表し、ランダム性の定義方法を変更すれば、完全なランダム化に必要なリフルの最小回数は6回にもなり得ることを示した^{[ 4 ] [ 5 ] 。}

「ストリップ」とも呼ばれます。デッキを片手でテーブルの上部近くで持ち、もう一方の手でデッキの上部からカードを1枚ずつ剥がしてテーブルに置きます。すべてのカードが新しい山に置かれるまで、さらにカードを剥がして前の山の上に重ねていきます。ボックスシャッフルは機能的にはオーバーハンドシャッフルと同じですが、カードをテーブルの近くに置くことで、カードが誤って露出する可能性が低くなります。

「インディアン・シャッフル」、「カッター・シャッフル」、「ケンチ（ヒンディー語でハサミ）」、または「クッティ・シャッフル」とも呼ばれます。デッキを裏向きに持ち、中指をデッキの長い辺の片側に、親指をデッキの下半分に置きます。もう一方の手でデッキの上部から束を引きます。この束は手のひらに落ちます。この動作を何度も繰り返し、新しく引いた束を前の束の上に落とし、デッキがすべてもう一方の手に入るまで続けます。インディアン・シャッフルは、カードを取る手がすべての動作を行う点でストリッピングとは異なります。ストリッピングでは、元のデッキを持っている手が動作を行い、カードを山札に加えます。これはアジアや世界の他の地域で最も一般的なシャッフル方法であり、オーバーハンド・シャッフルは主に欧米諸国で使用されています。

カードは単純に複数の山に分けられ、それらの山が積み重ねられます。この方法は決定論的でカードのランダム化は全く行われませんが、隣り合っていたカードが確実に分離されます。山札シャッフルのバリエーションの中には、各周回で山札にランダムな順序でカードを配ることで、わずかにランダム性を高めようとするものもあります。

トランプを空中に投げたり、地面に投げたりして、カードをランダムな順番で拾い上げ、同じ方向を向くように並べます。拾い上げる際に特定のカードが目立ちすぎる場合は、十分なランダム性を得るために、さらにカードを拾い上げるか、別のシャッフル方法が必要になる場合があります。この方法は初心者には便利ですが、シャッフルにはカードを広げるための広い清潔な場所が必要で、思ったよりも時間がかかる場合があります。

「52ピックアップゲーム」は、子供のいたずらの名前でもあり、子供が「友達」に「52ピックアップゲームをしよう」と誘い、カードを空中に投げ上げて、相手の子供に「拾ってこい」と要求する。

この方法は52ピックアップに似ており、初心者にも役立ちます。チェミー、アイリッシュ、ウォッシュ、スクランブル、ハードシャッフル、アイスクリーム、スムッシング、またはカードの洗浄とも呼ばれ、カードを裏向きに広げ、手で互いにスライドさせて重ねるだけです。次に、カードを1つの山に移動して絡み始め、再び積み重ねます。約1分間スムッシングすると、統計的にランダムなシャッフルが実現します。^{[ 6 ]}

モンジェシャッフル、またはモンジェシャッフルは、次のように行います（右利きの場合）：左手にシャッフルされていないデッキを持ち、一番上のカードを右手に移します。次に、左手から一番上のカードを繰り返し取り出し、右手に移し、新しいデッキの一番上に2枚目のカード、一番下に3枚目のカード、一番上に4枚目のカード、一番下に5枚目のカード、といった具合にカードを置きます。連続した番号のカードから始めた場合、結果は次のようになります。${\displaystyle \scriptstyle 1,2,3,4,5,6,\dots ,2n}$、カードが以下の順序で並んだデッキになります。${\displaystyle \scriptstyle 2n,2n-2,2n-4,\dots ,4,2,1,3,\dots ,2n-3,2n-1}$1773年にこのことについて書いたガスパール・モンジュにちなんで名付けられました。^{[ 7 ] [ 8 ]}

ウィービングとは、トランプの2つの半分の端を互いに押し付け、自然に絡み合うようにする手順のことです。場合によっては、トランプを26枚のカードからなる均等な半分に分け、それらを特定の方法で押し付けて完全に絡み合わせることもあります。これはファローシャッフルとして知られています。

ファロシャッフルは、両手でデッキを2つ（できれば均等な数）にカットして行います。手順は以下の通りです（右利きの場合）：右手でカードを上から、左手でカードを下から持ちます。デッキを分けるには、右手の親指でカードの半分を少し持ち上げ、左手の束を右手から前に押し出すだけです。2つの束は、位置を合わせるために交差させて軽く叩き合わせることがよくあります。次に、短い辺で押し合わせ、曲げます（上または下）。すると、カードはジッパーのように交互に重なります。ブリッジフィニッシュと呼ばれる、上から圧力をかけて束を曲げることで、華やかな演出を加えることができます。ファロシャッフルは、正しく行えばデッキをランダム化しない、制御されたシャッフルです。

カードが完全に交互にシャッフルされる完璧なファローシャッフルは、カードマジシャンにとって最も難しい技の一つと考えられています。なぜなら、シャッフルを行う人は、デッキを2つの等しい束に切り分け、カード同士を押し込む際に適切な圧力をかけなければならないからです。デッキに52枚のカードがあり、かつ8回のシャッフルの間、元の最上段と最下段のカードがそれぞれ1番目と52番目の位置に留まっている場合に限り、8回連続で完璧なファローシャッフルを行うことでデッキの順番が元に戻ります。最上段と最下段のカードが毎回シャッフルされるたびに混ざってしまうと、デッキを元の順番に戻すには52回のシャッフルが必要になります（または、順番を逆にするには26回のシャッフルが必要になります）。

メキシカン・スパイラル・シャッフルは、一番上のカードをテーブルに出し、次に新しい一番上のカードをデッキの下に戻し、その次のカードをテーブルに出し、さらにその次のカードをデッキの下に戻し、というように、最後のカードがテーブルに配られるまで繰り返して行うシャッフル方法です。リフル・シャッフルやオーバーハンド・シャッフルに比べると時間がかかりますが、テーブル上のカードを他のプレイヤーが完全にコントロールできるという利点があります。メキシカン・スパイラル・シャッフルは、19世紀末、アメリカ合衆国からやってくる賭博師や詐欺師から身を守る手段として、メキシコの一部の地域で人気を博しました。

特に大きなデッキの場合に便利な方法として、シャッフラーはデッキを2つ以上の小さなデッキに分割し、残りの部分を他のシャッフラーに渡して、それぞれが独自のシャッフル方法を選択できるようにする。シャッフルが続くにつれて、小さなデッキや小さなデッキの一部が交換され、その後、小さなデッキが元の大きなデッキに統合され（そして軽くシャッフルされる）。これにより、1人のシャッフラーがランダム化を不当にコントロールすることを防ぐこともできる。

通常、前のシャッフル方法の後に行われるカットとは、デッキをランダムな大きさの2つの部分に分け、以前の小さい方の部分を以前の大きい方の部分の上に置くという単純な作業です。ランダム性をさらに確実にするため、またシャッフルする人や観察者がカードの上下を知ることができないようにするため、この作業は2人目のシャッフル担当者によって行われることもあります。

「十分な」レベルのランダム性を得るのに必要なシャッフルの回数は、シャッフルの種類と「十分なランダム性」の尺度によって決まり、それは対象となるゲームによって異なります。ほとんどのゲームでは、4～7回のリフルシャッフルで十分です。ブラックジャックのようなスーツのないゲームでは、4回のリフルシャッフルで十分ですが、スーツのあるゲームでは、7回のリフルシャッフルが必要です。ただし、7回のリフルシャッフルでも不十分なゲームもあります。^{[ 10 ]}

実際には、必要なシャッフルの回数は、シャッフルの質と非ランダム性の程度、特にプレイヤーが非ランダム性に気づいて利用する能力によって決まります。カジュアルなプレイでは、2～4回のシャッフルで十分です。しかし、クラブでのプレイでは、優秀なブリッジプレイヤーは4回のシャッフル後に非ランダム性を利用し、^{[ 11 ]} 、トップブラックジャックプレイヤーはデッキを通してエースを追跡すると言われています。これは「エース追跡」またはより一般的には「シャッフル追跡」として知られています。

1955年に中止されたベル研究所での初期の研究に続き、必要なシャッフルの回数の問題は1990年まで未解決のままでしたが、その年に7回のシャッフルで解決されることが説得力をもって示されました（以下で詳述）。^{[ 11 ]}これ以前にもいくつかの結果が出ており、その後も改良が続けられています。

シャッフルの数学における第一人者は、数学者でありマジシャンでもあるパーシー・ディアコニスで、1970 年頃からこの問題の研究を始め、^{[ 11 ]} 1980 年代、1990 年代、2000 年代に多数の共著者とともにこのテーマに関する多くの論文を執筆しました。最も有名なのは、数学者のデイブ・ベイヤーと共著した( Bayer & Diaconis 1992 )で、ランダムなリフルシャッフルのギルバート・シャノン・リードモデルを分析し、デッキは 5 回の適切なリフルシャッフルまではランダムになり始めず、7 回後にはマルコフ連鎖の混合時間で説明される変動距離の正確な意味で真にランダムになると結論付けました。もちろん、シャッフル技術が下手な場合は、もっと多くのシャッフルが必要になります。^{[ 11 ]}最近、トレフェセンらの研究は、ディアコニスの結果の一部に疑問を呈し、6 回のシャッフルで十分であると結論付けました。^{[ 12 ]}その違いは、それぞれがデッキのランダム性をどのように測定したかにかかっています。ディアコニスは非常に感度の高いランダム性テストを使用したため、より多くのシャッフルが必要でした。さらに感度の高い測定方法も存在し、特定のカードゲームに最適な測定方法は何かという疑問は未解決です。ディアコニスは、ブラックジャックのようなスーツのないゲームでは4回のシャッフルだけで十分であるという回答を発表しました。^{[ 13 ] [ 14 ]}

一方、変動距離は寛容すぎる尺度であり、7回のリフルシャッフルは少なすぎるかもしれない。たとえば、新しいデッキを7回シャッフルすると、ニューエイジソリティアで勝つ確率は81%になるが、均一ランダムデッキでは確率は50%である。^{[ 10 ] [ 15 ]}ランダム性に対する感度の高いテストの1つは、ジョーカーを除いた標準デッキを、2つのスートをエースからキングまで昇順に、残りの2つのスートを逆順にスートに分割して使用する。（多くのデッキは新品の時点で既にこのように並べられている。）シャッフル後、ランダム性の尺度は、各スートに残る上昇シーケンスの数である。^{[ 10 ]}

これらの問題は、オンラインギャンブルにおいて商業的に非常に重要であり、オンラインカードゲームで使用される模擬カードのシャッフルのランダム性は極めて重要です。そのため、多くのオンラインギャンブルサイトは、シャッフルアルゴリズムと、そのアルゴリズムを駆動するために使用されるランダム性の源泉についての説明を提供しており、一部のギャンブルサイトは、システムのパフォーマンスに関する監査レポートも提供しています。