ウェーブシェイパー

多項式は、次の形式の関数です。

${\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=\sum _{n=0}^{N}a_{n}x^{n}}$

多項式関数は、入力として単一の正弦波が与えられた場合、次数Nの多項式は正弦波のN次高調波までしか導入しないため、形状関数として便利です。これを証明するために、一般的な多項式への入力として使用される正弦波を考えてみましょう。

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}a_{n}(\alpha \cos(\omega t+\phi ))^{n}}$

次に、逆オイラーの公式を用いて複素正弦波を求めます。

${\displaystyle \sum _{n=0}^{N}a_{n}{\Bigg (}\alpha {\frac {e^{j(\omega t+\phi )}+e^{-j(\omega t+\phi )}}{2}}{\Bigg )}^{n}=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}{\frac {a_{n}\alpha ^{n}}{2^{n-1}}}{\frac {(e^{j(\omega t+\phi )}+e^{-j(\omega t+\phi )})^{n}}{2}}}$

最後に、二項式の公式を用いて三角関数形式に戻し、各高調波の係数を求めます。

${\displaystyle a_{0}+\sum _{n=1}^{N}{\Bigg [}{{\frac {a_{n}\alpha ^{n}}{2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{n}{{n \choose k}{\frac {e^{j(nk)(\omega t+\phi )}e^{-jk(\omega t+\phi )}}{2}}}{\Bigg ]}}=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}{\Bigg [}{{\frac {a_{n}\alpha ^{n}}{2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{n}{{n \choose k}{\frac {e^{j(n-2k)(\omega t+\phi )}}{2}}}{\ビッグ ]}}}$

${\displaystyle =a_{0}+\sum _{n=1}^{N}{\Bigg [}{{\frac {a_{n}\alpha ^{n}}{2^{n-1}}}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{{n \choose k}\cos {((n-2k)(\omega t+\phi ))}}{\Bigg ]}}}$

上記の式から、多項式整形関数が単一の正弦波に及ぼす影響について、いくつかの考察をすることができる。

• 生成されるすべての正弦波は、元の入力信号と調和的な関係にある。
• 周波数は決して超えません${\displaystyle N\omega }$。
• すべての奇数単項式${\displaystyle x^{n}}$nから基本周波数までの奇数次高調波を生成し、すべての偶数次単項式はnからDC (0 周波数) までの偶数次高調波を生成します。
• 各単項式によって生成されるスペクトルの形状は固定されており、二項係数によって決定されます。
• 全体出力におけるそのスペクトルの重みは、${\displaystyle a_{n}}$係数と入力の振幅${\displaystyle {\frac {a_{n}\alpha ^{n}}{2^{n-1}}}}$