視覚的なバイナリ

視認連星は、重力で結びついた連星系^[1]で、2つの星に分解できます。これらの星は、ケプラーの第三法則により、数年から数千年の範囲の周期を持つと推定されています。視認連星は、通常、明るさが異なる2つの星で構成されています。このため、明るい方の星は主星、暗い方は伴星と呼ばれます。主星が伴星に比べて明るすぎると、グレアが発生して2つの成分を分解することが困難になることがあります。^[2]ただし、明るい方の星の観測で質量の中心の周りを揺れていることが示された場合は、システムを分解できます。^[3]一般に、視認連星は、中心が1秒角以上離れている場合、望遠鏡で2つの星に分解できますが、現代の専門的な望遠鏡、干渉計、または宇宙ベースの機器を使用すると、より近い距離で星を分解できます。

視認連星系の場合、測定では、主星に対する伴星の見かけの角度間隔（秒角）と位置角（北から東に測った角度）を、主星に対して秒角で指定する必要があります。一定期間にわたって測定すると、視認連星系の見かけの相対軌道が天球上に表示されます。視認連星の研究により、質量、密度、表面温度、明るさ、自転速度など、有用な恒星特性が明らかになります。^[4]

視覚連星系の構成要素の質量を計算するには、まずその系までの距離を決定する必要があります。これにより、天文学者は 2 つの星の公転周期と距離を推定できます。三角視差は、星の質量を計算する直接的な方法を提供します。これは視覚連星系には適用されませんが、動的視差と呼ばれる間接的な方法の基礎となります。^[5]

この距離計算方法を使用するには、地球が太陽を回る軌道の反対側でそれぞれ 1 つの星の測定を 2 回行います。星の位置は、より遠い背景の星に対してずれて見えます。視差値は、平均位置からの各方向のずれと見なされ、1天文単位離れた観測からの角度ずれに相当します。パーセク単位の距離は、次の式で求められます。 ${\displaystyle d}$

${\displaystyle d={\frac {1}{\tan(p)}}}$

視差は秒角単位で測定されます。^[6]${\displaystyle p}$

この方法は連星系にのみ使用されます。連星系の質量は太陽の 2 倍と想定されます。次にケプラーの法則を適用し、星間の距離を決定します。この距離がわかれば、空に広がる弧から距離がわかり、一時的な距離測定ができます。この測定値と両方の星の見かけの等級から光度がわかり、質量と光度の関係を使用して各星の質量がわかります。これらの質量を使用して分離距離を再計算し、このプロセスを何度も繰り返して、5% ほどの精度を達成します。より高度な計算では、星の質量が時間の経過とともに減少することを考慮します。^[5]

分光視差は、連星系までの距離を判定するためによく使用されるもう 1 つの方法です。視差は測定されませんが、この言葉は単に距離が推定されているという事実を強調するために使用されています。この方法では、星の明るさはそのスペクトルから推定されます。特定のタイプの遠方の星のスペクトルは、同じタイプの近くの星のスペクトルと同じであると想定されることに注意してください。次に、星のライフサイクルのどこにあるかに基づいて、ヘルツシュプルング ラッセル図上の位置が割り当てられます。星の明るさは、近くの星のスペクトルと比較することで推定できます。次に、次の逆二乗則によって距離が決定されます。

${\displaystyle b={\frac {L}{4\pi d^{2}}}}$

ここで、は見かけの明るさ、は光度です。 ${\displaystyle b}$${\displaystyle L}$

太陽を参考にすると、

${\displaystyle {\frac {L}{L_{\odot }}}={\bigg (}{\frac {d_{\odot }^{2}}{b}}{\bigg )}{\bigg (}{\frac {d^{2}}{b_{\odot }}}{\bigg )}}$

ここで、下付き文字は太陽に関連するパラメータを表します。 ${\displaystyle \odot}$

を整理すると距離の概算値が得られる。^[7]${\displaystyle d^{2}}$

${\displaystyle d^{2}={\bigg (}{\frac {L}{L_{\odot }}}{\bigg )}{\bigg (}{\frac {b_{\odot }}{b}}{\bigg )}}$

互いに周回する2つの星とその質量の中心は、ケプラーの法則に従わなければなりません。つまり、軌道は質量の中心が2つの焦点の1つにある楕円であり（ケプラーの第1法則）、軌道運動は星と質量の中心を結ぶ線が等しい時間間隔で等しい面積を掃引するという事実を満たしています（ケプラーの第2法則）。軌道運動はケプラーの第3法則も満たさなければなりません。^[8]

ケプラーの第3法則は次のように述べられる。「惑星の公転周期の2乗は、その長半径の3乗に正比例する。」数学的には、次のように翻訳される。

${\displaystyle T^{2}\propto a^{3}}$

ここでは惑星の公転周期、 は軌道の長半径である。^[8]${\displaystyle T}$${\displaystyle a}$

連星系を考えてみましょう。これは質量が 、質量が の 2 つの物体で構成され、それぞれの質量の中心を周回しています。は位置ベクトルと軌道速度を持ち、 は質量の中心に対する位置ベクトルと軌道速度 を持ちます。2 つの星の間の距離は で示され、一定であると仮定されます。重力は両方の星の中心を結ぶ線に沿って作用するため、星は質量の中心の周りで同じ周期を持ち、したがって互いの距離は一定であると仮定できます。^[9]${\displaystyle m_{1}}$${\displaystyle m_{2}}$${\displaystyle m_{1}}$${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle m_{2}}$${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle v_{2}}$${\displaystyle r}$

ケプラーの第 3 法則のニュートン版に到達するには、まずニュートンの第 2 法則を考慮する必要があります。この法則は、「物体に作用する正味の力は、物体の質量と結果として生じる加速度に比例する」と述べています。

${\displaystyle F_{net}=\sum \,F_{i}=ma}$

ここで は質量 の物体に作用する正味の力であり、 は物体の加速度である。^[10]${\displaystyle F_{net}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle a}$

求心加速度の定義をニュートンの第二法則に 適用すると、

${\displaystyle F={\frac {mv^{2}}{r}}}$ ^[11]

そして、軌道速度が次のように与えられるという事実を用いると、

${\displaystyle v={\frac {2\pi r}{T}}}$ ^[11]

それぞれの星に働く力は次のように表すことができます。

${\displaystyle F_{1}={\frac {4\pi ^{2}m_{1}r_{1}}{T^{2}}}}$そして${\displaystyle F_{2}={\frac {4\pi ^{2}m_{2}r_{2}}{T^{2}}}}$

ニュートンの第3法則「すべての作用には、等しく反対の反作用がある」 を適用すると、

${\displaystyle F_{12}=-F_{21}}$ ^[10]

それぞれの星にかかる力を互いに等しく設定することができます。

${\displaystyle {\frac {4\pi ^{2}m_{1}r_{1}}{T^{2}}}={\frac {4\pi ^{2}m_{2}r_{2}}{T^{2}}}}$

これは次のように要約される。

${\displaystyle r_{1}m_{1}=r_{2}m_{2}}$

質量が等しくないと仮定すると、この式は、小さい方の質量が大きい方の質量よりも質量中心から遠いことを示しています。

2つの物体の 分離は${\displaystyle r}$

${\displaystyle r=r_{1}+r_{2}}$

と は反対方向から始まり、質量の中心で結合する線を形成します。 ${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$

ここで、この式を星に働く力を表す方程式の1つに代入し、 を整理して、1つの星の位置と両方の質量およびそれらの間の距離を関連付ける式を求めることができます。同様に、これを について解くこともできます。次の式がわかります。 ${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$

${\displaystyle r_{1}={\frac {m_{2}a}{(m_{1}+m_{2})}}}$

この式を星の1つにかかる力の式に代入し、それをニュートンの万有引力の法則（つまり、^[10]）と等しく設定し、周期の2乗について解くと、必要な結果が得られます。 ${\displaystyle F=Gm_{1}m_{2}/a^{2}}$

${\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}a^{3}}{G(m_{1}+m_{2})}}}$^[10]

これはケプラーの第 3 法則のニュートン版です。 が非標準単位である場合を除いて、質量が太陽質量で測定され、公転周期が年で測定され、軌道長半径が天文単位 (たとえば、地球の軌道パラメータを使用) で測定される場合は、この法則は機能しません。たとえば、 SI 単位が全体にわたって使用されている場合は機能します。${\displaystyle G}$

ここでは連星系が特に重要です。連星系は互いの周りを回っているため、互いの周りの軌道のパラメータと質量の中心を観察することによって、連星系の重力相互作用を調べることができます。ケプラーの第 3 法則を適用する前に、視覚連星系の軌道の傾斜を考慮する必要があります。地球上の観測者に対して、軌道面は通常傾いています。0° の場合は面が一致して見え、90° の場合は面が真上に見えるようになります。この傾斜により、楕円の真の軌道は、楕円の見かけの軌道を天空面に投影します。ケプラーの第 3 法則は依然として有効ですが、比例定数は楕円の見かけの軌道に対して変化します。^[12] 軌道の傾斜は、主星と見かけの焦点の間の距離を測定することで決定できます。この情報がわかれば、見かけの軌道は実際の軌道よりも短くなるため、真の離心率と真の長半径を計算することができ、傾斜角が0°より大きいと仮定すると、この効果は単純な幾何学を使用して補正できます。

${\displaystyle a={\frac {a''}{p''}}}$

は真の半長軸で、は視差です。 ${\displaystyle a''}$${\displaystyle p''}$

真の軌道がわかれば、ケプラーの第3法則を適用できる。これを観測可能な量で書き直すと、

${\displaystyle (m_{1}+m_{2})T^{2}={\frac {4\pi ^{2}(a''/p'')^{3}}{G}}}$

この式から、連星系に含まれる質量の合計が得られます。以前に導いた式を思い出してください。

${\displaystyle r_{1}m_{1}=r_{2}m_{2}}$

どこ

${\displaystyle r_{1}+r_{2}=r}$

半径の比を解くことができ、したがって2つの質量の比も解くことができる。

${\displaystyle {\frac {a_{1}''}{a_{2}''}}={\frac {a_{1}}{a_{2}}}}$

そして

${\displaystyle {\frac {a_{1}}{a_{2}}}={\frac {m_{2}}{m_{1}}}}$

個々の恒星の質量は、これらの比率と、各恒星とシステムの質量中心との間の距離から算出されます。 ^[4]

星の明るさを知るには、放射エネルギーの流量、つまり放射束を観測する必要があります。観測された明るさと質量をグラフ化すると、質量と明るさの関係が得られます。この関係は、1924 年にアーサー エディントンによって発見されました。

${\displaystyle {\frac {L}{L_{\odot }}}=\left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{\alpha }}$

_ここで、L は恒星の光度、M は恒星の質量である。L ⊙とM _⊙は太陽の光度と質量である。 ^[13]値= 3.5 は主系列星 によく用いられる。^{[14]この式と通常の値 a = 3.5 は、質量が 2} M _⊙  <  M  < 20 M _⊙の主系列星にのみ適用され、赤色巨星や白色矮星には適用されない。これらの星は質量が異なるため、この式は異なる定数で適用される。質量の範囲が異なる場合、適切な質量-光度関係は次の式で表される。 ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\frac {L}{L_{\odot }}}\approx .23\left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{2.3}\qquad (M<.43M_{\odot })}$

${\displaystyle {\frac {L}{L_{\odot }}}=\left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{4}\qquad \qquad (.43M_{\odot }<M<2M_{\odot })}$

${\displaystyle {\frac {L}{L_{\odot }}}\approx 1.5\left({\frac {M}{M_{\odot }}}\right)^{3.5}\qquad (2M_{\odot }<M<20M_{\odot })}$

${\displaystyle {\frac {L}{L_{\odot }}}\varpropto {\frac {M}{M_{\odot }}}\qquad (M>20M_{\odot })}$

星の明るさが大きければ大きいほど、その質量も大きくなります。星の絶対等級または明るさは、星までの距離と見かけの等級を知ることでわかります。星の等級は、太陽の質量を単位とした質量に対してプロットされます。これは観測によって決定され、プロットから星の質量が読み取られます。巨星と主系列星はこれに一致する傾向がありますが、超巨星と白色矮星は一致しません。質量と光度の関係は非常に有用です。なぜなら、連星、特に視覚連星の観測により、多くの星の質量がこの方法で発見されて以来、天文学者は星の進化、さらには星がどのように誕生するかについての洞察を得ることができたからです。^{[5] [13] [15]}

一般的に言えば、二元系には 3 つのクラスがあります。これらは、2 つのコンポーネントの色を考慮することで決定できます。

「1. 赤色または赤みがかった主星と、通常は 1 等級以上暗い青みがかった副星で構成されるシステム... 2. 等級と色の差がどちらも小さいシステム... 3. 暗い方の星がより赤いシステム...」

クラス 1 の連星の明るさは、クラス 3 の連星の明るさよりも大きい。連星の色の違いと固有運動の減少には関係がある。1921 年、リック天文台のフレデリック C. レナードは次のように書いている。「1. 矮星の二次成分のスペクトルは一般に主成分のスペクトルよりも赤く、一方、巨星のより暗い成分のスペクトルはより明るい成分のスペクトルよりも青いのが普通である。どちらの場合も、スペクトル クラスの絶対的な差は通常、成分間の差異に関係しているようである...2. いくつかの例外はあるものの、二重星の成分のスペクトルは互いに非常に関連しており、星の ヘルツシュプルング ラッセル構成に一致する...」

視覚的に見える連星の興味深いケースは、一方または両方の構成要素が主系列の上または下にある場合に発生します。恒星が主系列の恒星より​​も明るい場合、その恒星は非常に若く、重力によって収縮しているか、進化の主系列後の段階にあります。連星の研究は、単独の恒星とは異なり、どちらの理由であるかを判断できるため、ここで役立ちます。主星が重力収縮している場合、伴星は主系列から主星よりも遠くにあります。これは、より質量の大きい恒星が質量の小さい恒星よりもはるかに速く主系列の恒星になるためです。^[16]